Diferencia entre $T(A) = A$ y $T^{-1}(A) = A$

Question

Me confunde un poco el título.

Sea $T:X\rightarrow X$ sea un mapa donde $X \subset \mathbb{R}^n$ . Sea $A\subset X$ .

Sé que $$T^{-1}(A) = \{x\in X: T(x)\in A\}.$$

y si $A$ es $T$ -invariante, tenemos $$T(A) = A.$$ En este caso, $A$ es un poco como un atractor.

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Mis preguntas son:

1. Supongamos que $T^{-1}(A)=A$ ¿podemos decir $T(A) = A$ ? o simplemente podemos decir $T(A)\subset A$ ?
2. Supongamos que $T(A) = A$ ¿podemos decir $T^{-1}(A) = A$ ?

Creo que 2. no es correcto; porque si $A$ admite una cuenca de atracción de $A$ , digamos $V$ tal que $A\subset V\subset X$ entonces es posible que $A\subset T^{-1}(A)$ .

Answer 1

Ninguna de las dos igualdades es necesariamente cierta.

Sea $X=\mathbb{R}$ y que $T:X\to X$ viene dada por $T(x)=x^2$ .

Para la primera, si $A=X$ entonces $T^{-1}(A)=A$ pero $T(A)=[0,\infty)$ que es un subconjunto propio de $A$ .

Para la segunda, si $A=[0,\infty)$ entonces $T(A)=A$ pero $T^{-1}(A)=X$ que contiene correctamente $A$ .