Problema en la derivación de elementos del Grupo de Lorentz

Question

Estoy siguiendo una serie de clases de Teoría Clásica de Campos en la que el profesor utiliza la invariancia de la longitud de un vector durante una transformación de Lorentz para derivar la ecuación $$O^{T}\eta~O=\eta.$$ Obtiene esta ecuación siguiendo estos pasos: Tomando un vector $v$ y tomando su longitud $$|v|^{2}=v^{T}\eta~v$$ sea constante en una transformación obtendríamos $$|v'|^{2}=v'^{T}\eta~v'$$ donde $v'=O~v$ , $O$ que es la matriz de transformación de Lorentz. Además escribe $$|v'|^{2}=(v^{T}~O^{T})\eta~(O~v)$$ y luego $$O^{T}\eta~O=\eta$$ para que la longitud del vector sea constante. Ahora mi pregunta es ¿no debería el tensor métrico $\eta$ no cambia con la transformación de coordenadas y la ecuación debe ser $$O^{T}\eta'~O=\eta?$$ Porque a continuación pasa a deducir algunas propiedades de $O$ utilizando la ecuación $$O^{T}\eta~O=\eta.$$

Answer 1

Se trata de una confusión habitual y se debe a una notación complicada.

• Cada tensor de rango 2 $A$ se transforma en $A' = O^T A O$ .
• Su libro ha demostrado que para las transformaciones de Lorentz, la métrica $\eta$ satisface $\eta = O^T \eta O$ .
• Por lo tanto, la métrica se transforma como $\eta' = \eta$ bajo transformaciones de Lorentz. Esta es una condición muy especial que no se cumple para un tensor general de rango 2.

Answer 2

Empecemos con el mundo euclidiano tridimensional. Consideremos las rotaciones tridimensionales representadas por matrices R. Esto debería ser suficientemente demostrativo para mostrar que la longitud de un vector tridimensional es invariante bajo rotaciones.

$|v|^2 =v^T v$ es la longitud de un vector arbitrario 3D. En el sistema rotado la longitud es $|v'|^2 =v'^T v' = (v^T R^T)(Rv) = v^T v = |v|^2$ ya que las matrices de rotación cumplen $R^T R = id \equiv 1$ También se puede escribir como $R_{ij}\delta_{jk}R_{kl}= \delta_{il}$ con $\delta$ como símbolo de Kronecker que ahora tiene el papel de la métrica, es decir, en lenguaje sin componentes escribiríamos para él : $R^T\delta R=\delta$ . Por supuesto se puede imaginar una transformación de coordenadas a coordenadas polares, entonces las correspondientes matrices de transformación P ya no cumplen $P^T P = id$ . Pero, por supuesto, la longitud de un vector arbitrario es la misma en coordenadas polares que en coordenadas cartesianas.

Ahora consideraremos el espacio de Minkowski. En realidad las transformaciones de Lorentz $O$ son aquellos tipos de transformaciones de coordenadas que cumplen $\eta = O^T \eta O$ . La métrica de Minkowski no se ve modificada por la transformación de Lorentz. Y como en el espacio 3D euclidiano podemos realizar una transformación de coordenadas $C$ donde $\eta' = C^T \eta C$ . Pero imaginemos una transformación que sólo cambie los elementos diagonales en $\eta$ .

Normalmente:

$\eta = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-1 & 0\\ 0 & 0& 0 & -1 \end{array} \right)$

Imaginemos el elemento matricial $\eta'_{00}=1.2$ tras la transformación de coordenadas en lugar de $\eta_{00}=1$ . Entonces el elemento de línea invariante sería $ds^2 = 1.2 c^2 dt'^2 -dx'^2 -dy'^2 -dz'^2$ . En estas coordenadas la velocidad de la luz ya no sería $c$ . En realidad este tipo de transformaciones de coordenadas existen, pero evidentemente ya no son transformaciones de Lorentz.