¿Existe una descripción topológica de la característica combinatoria de Euler?

Question

Existe una colección de definiciones de la "característica combinatoria de Euler", que es diferente de la "característica homotópica de Euler". Describiré algunas de ellas y daré algunas referencias, y luego me preguntaré hasta qué punto se pueden generalizar.

• Un buen punto de partida es Teorema de Hadwiger . Definir una "medida Hadwiger" m en R n para ser una cosa que asigna números reales (posiblemente negativos) a subconjuntos (¿buenos?) de R n de tal manera que la asignación sea invariante bajo transformaciones rígidas (es decir, isometrías) y satisfaga el principio de "inclusión-exclusión" según el cual m (_A_ ∪ B ) = m (_A_) + m (_B_) - m (_A_ ∩ B ); también se requiere que las medidas de Hadwidger satisfagan algunas propiedades analíticas. Entonces Hadwidger demuestra que el espacio de medidas sobre R n es precisamente ( n +1)-dimensional, y tiene una base m _i con m _i ([0,1] i ) = 1 y m _i (λ A ) = λ i m _i ( A ), donde λ A es el conjunto reescalado por un factor λ en cada dirección. En particular, m ₀ de un conjunto finito cuenta el número de puntos, y coincide con la característica de Euler para regiones compactas; la función m ₀ es la "característica combinatoria de Euler". No es invariante homotópica: m ₀ ([0,1]) = 1 mientras que m ₀ ( R ) = -1. Es multiplicativo.

  Por cierto, el artículo de Hadwiger está en alemán, por lo que no puedo leerlo. Aparentemente todo este material está en el libro de Rota "Introducción a la probabilidad geométrica", pero he estado lejos de una biblioteca y aún no lo he leído. Por lo tanto no conozco el enunciado exacto de "agradable".

• Schanuel en MR1173024 diversas "categorías geométricas". A saber, digamos que un subconjunto de R n es un "poliedro" si es el lugar positivo de un número finito de mapas afines a R ; cerrar la colección de poliedros bajo unión, intersección y complemento, y recuperar así la noción de "conjunto poliédrico" (de modo que un conjunto poliédrico es en realidad un par ( n ,_S_) donde S es un subconjunto de R n que satisfagan determinadas propiedades). Entonces el morfismo de conjuntos poliédricos es una función teórica de conjuntos cuyo grafo (como subconjunto de R n x R m ) es poliédrica. Entonces es sencillo comprobar que un morfismo es un isomorfismo si es una biyección set-teórica - los morfismos permiten pegar y cortar.

  O sustituir la palabra "afín" por "polinómico" y recuperar así la noción de "conjunto semialgebraico". O restringir la atención a los conjuntos poliédricos acotados. En cualquier caso, cada una de estas categorías geométricas tiene un producto y un coproducto bien comportados, y por tanto un "Burnside Rig" (anillo sin negación) cuyos elementos son clases de isomorfismo de objetos. Schanuel calcula cada uno de estos rígidos de Burnside y demuestra que el cociente cancelativo universal de cada uno de ellos son los números enteros; este mapa a Z es la característica combinatoria de Euler.

• Al parecer, también existen definiciones más analíticas. Schanuel en MR842922 (maravilloso pero sólo intenta desarrollar la intuición y la motivación) sugiere que cada una de las medidas de Hadwiger puede definirse en términos de curvaturas y demás, pero las fórmulas que da sólo tienen sentido para las variedades compactas (con límites, esquinas...).

  Chen (MR1215324) describe la característica combinatoria de Euler con la siguiente integral de diversión: sea f : R → R sea continua excepto para un número finito de saltos y/o discontinuidades removibles, y defina ∫ _Euler f = Σ _{<i>x </i>∈ <strong>R </strong>} [ f(x) - (1/2) (f(x + ) + f(x - )) ]; a continuación, intente calcular integrales de Euler de funciones características. El problema es que luego define la versión multidimensional mediante el teorema de Fubini, pero sugiere que sus integrales dependen de una elección de base.

• La definición de la característica combinatoria de Euler es genial para los "complejos poliédricos finitos", creo. Por "complejos poliédricos finitos" me refiero a pegar un número finito de poliedros, pero se permite dejar algunas caras abiertas, de modo que, a diferencia de un complejo CW, no todas las celdas deben tener cierre complejo. Entonces puedes calcular la característica de Euler con la fórmula habitual: (número de celdas de dimensión par) - (número de celdas de dimensión impar). Creo que se trata de un invariante topológico (¡pero no homotópico!).

En fin, primero, ¿hay referencias que me haya perdido?

En segundo lugar, y lo que es más importante, todas las referencias consideran únicamente subconjuntos del espacio euclidiano (bueno, Schanuel menciona brevemente el aparejo Burnside de variedades/ C pero sólo calcula un cociente). ¿Por qué? ¿Por qué no hay una descripción topológica intrínseca, o quizá una descripción teórica de los colectores?

En particular, una versión "teórico-medida" que no dependa de incrustaciones en el espacio euclidiano sería genial, ya que presumiblemente daría "medidas" contra las que podríamos integrar funciones suaves. ¿Alguna idea?

Answer 1

La mejor aproximación a la característica geométrica de euler procede de la teoría de las estructuras o-minimales.

la mejor referencia en este ámbito es el libro "tame topology and o-minimal structures" de lou van den dries. requiere muy pocos conocimientos previos para entenderlo.

en resumen: una estructura o-minimal es una colección de álgebras booleanas de subconjuntos de $R^n$ que satisface una breve lista de axiomas. (el nombre proviene de la teoría de modelos, pero no es necesario conocer ninguna teoría de modelos para entender los resultados).

Algunos ejemplos de estructuras o-minimales son los conjuntos semialgebraicos, los conjuntos globalmente subanalíticos y (si retocamos un poco las definiciones) los conjuntos a trozos lineales.

los elementos de una estructura o-minimal son conjuntos "mansos" o "definibles". las correspondencias entre conjuntos mansos son mansas si su grafo es un conjunto manso.

resultados básicos relevantes:

todo conjunto manso tiene una característica de Euler bien definida.

dos conjuntos mansos son "definitivamente homeomorfos" (existe una biyección mansa entre ellos --- ¡no necesariamente continua!) si tienen la misma dimensión y característica de euler.

(sí, escribí iff - esta es la primera sorpresa en este tema)

También se puede hacer lo mismo para variedades más generales.

relativa a la integración con respecto a la característica de Euler:

1) en el marco o-minimal, se pueden integrar todas las funciones construibles, como señalaron viro y schapira en la década de 1980, basándose en los trabajos de macpherson y kashiwara en la década de 1970. estos resultados se derivan de la teoría de la gavilla. aunque son más difíciles que el enfoque combinatorio, todas estas pruebas son "naturales" y no dependen de la "suerte".

2) si quieres integrar integradas no construibles (por ejemplo, suaves), la teoría de chen (debida en realidad a rota) fallará -- esa integral desaparece en todas las integradas continuas.

3) baryshnikov y ghrist tienen extensiones de la integral a integrandos definibles (véase el artículo arxiv de 2009). hay dos de estas extensiones, y son duales. hay profundas conexiones con la teoría de morse, pero los operadores integrales son desafortunadamente no lineales, y el teorema de fubini no se cumple en toda su generalidad.

Answer 2

Algunos comentarios sobre los comentarios anteriores:

1. la característica combinatoria de euler de un espacio definible (hablando en términos generales, un espacio con descomposición finita en celdas de dimensión finita) es un invariante de homeomofismo, pero no un invariante de homotopía. existe una definición homológica correspondiente en términos de homología de borel-moore o, si se prefiere, cohomología con coeficientes locales. es, de hecho, un invariante de biyecciones definibles --- que no necesitan ser continuas.

2. los conjuntos "policonvexos" son la aproximación combinatoria a los conjuntos "mansos". si se utiliza la teoría o-minimal, entonces se puede generalizar enormemente la clase de espacios para los que la característica de euler está bien definida.

3. una razón para utilizar la característica de euler combinatoria (a veces llamada "geométrica") es que satisface el principio de mayer-vietoris (o de inclusión/exclusión) sin exigir que los espacios sean compactos. en concreto, $\chi(A \cup B) = \chi(A) + \chi(B) - \chi(A \cap B)$ . por lo tanto, se puede tratar $d\chi$ como una medida con signo finitamente aditiva sobre espacios definibles e integra funciones construibles.

pido disculpas por insistir en la teoría o-minimal, pero me pareció que simplificaba y generalizaba enormemente pruebas que de otro modo serían torpes. el libro de van den dries sobre el tema es muy elemental y claro.

Answer 3

¿Por qué no existe una descripción topológica intrínseca, o quizá una descripción teórica de los colectores?

Al menos en algunos casos, la característica combinatoria de Euler de X es igual a la característica homotópica de Euler de la compactificación de un punto de X menos 1. Por ejemplo, esto es cierto cuando X es compacto (por supuesto) y también cuando X = R^n. Es cierto para todos los subconjuntos "bonitos" de R^1. No sé si funciona cuando X es, digamos, el cuadrado unitario abierto más uno de sus vértices.

Por supuesto, la primera pregunta es si la característica combinatoria de Euler es incluso un invariante de homeomorfismo. También me gustaría saber la respuesta.

Answer 4

El enunciado preciso de "agradable" en el Teorema de Hadwiger es "expresable como unión finita de conjuntos convexos compactos". En su libro Introducción a la probabilidad geométrica Klain y Rota utilizan "policonvexo" para un conjunto de este tipo.

Hay toda una lista de referencias posiblemente relevantes aquí: http://math.ucr.edu/home/baez/counting/

Answer 5

Barvinok, en la Lectura 1 de sus Park City Lectures (reimpresa en IAS/Park City Math Series Volumen 13), define una característica de Euler que es muy similar a ésta. Su dominio de definición son los conjuntos cuyas funciones indicadoras pueden escribirse como una combinación lineal finita de funciones indicadoras de poliedros, y afirma como ejercicio que esto puede extenderse a combinaciones lineales de funciones indicadoras de conjuntos convexos.

Con sus convenciones, chi no es un invariante de homeomorfismo, porque chi( \mathbb {R})=1 y chi( (0,1))=-1. No me queda claro qué daño causaría dejar que la característica de Euler de la recta real fuera -1.