Diffeomorphism de $\mathbb{C}P^1$$S^2$.

Question

En un ejercicio que se me pide para encontrar un (suave) sumersión de $S^3$ en la esfera de la $S^2$. Hasta ahora tengo una inmersión de $S^3$ a $\mathbb{C}P^1$.

Se $\mathbb{C}P^1$ $S^2$ diffeomorphic? Si es así, ¿cómo hace uno para construir un diffeomorphism entre los dos y lo que es la intuición geométrica detrás de la construcción?

Gracias.

Answer 1

He aquí una forma de construir explícitamente una diffeomorphism.

Recordar el estereográfica gráficos en $S^2$, $(S^2\smallsetminus\{N\},\varphi_1)$ y $(S^2\smallsetminus\{S\},\varphi_2)$, es decir,$\varphi_1(x,y,z)=\frac{(x,y)}{1-z}$$\varphi_2(x,y,z)=\frac{(x,y)}{1+z}$. La transición mapa $$\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}(u,v)=\left(\frac{u}{u^2+v^2},\frac{v}{u^2+v^2}\right).$$

Recordemos también a $\mathbb{CP}^1=\{[z:w]\mid z\neq 0\text{ or }w\neq 0\},$ $[z:w]$ denotando la línea a través del origen y $(z,w)\in\mathbb{C}^2$. Los típicos gráficos de $(U_1,\psi_1)$ $(U_2,\psi_2)$ donde $U_1=\{[z:w]\mid z\neq 0\}$, $U_2=\{[z:w]\mid w\neq 0\}$, $$\psi_1[z:w]=wz^{-1}\in\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\qquad\text{and}\qquad\psi_2[z:w]=\overline{zw^{-1}}\in\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2.$$ La transición mapa $$\psi_2\circ\psi_1^{-1}(z)=\psi_2[1:z]=\overline{z}^{-1}$$ como un mapa de $\mathbb{C}$$\mathbb{C}$; ver, sino como un mapa de $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$(es decir,$z=u+iv\cong(u,v)\in\mathbb{R}^2$), tenemos $$\psi_2\circ\psi_1^{-1}(u,v)=\left(\frac{u}{u^2+v^2},\frac{v}{u^2+v^2}\right).$$ Tenga en cuenta que nosotros elegimos $\psi_2[z:w]=\overline{zw^{-1}}$ en lugar de los típicos $\psi_2[z:w]=zw^{-1}$, de modo que $\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}=\psi_2\circ\psi_1^{-1}.$

Esto sugiere un natural de la correspondencia entre el$S^2$$\mathbb{CP}^1$: definir $\Phi:S^2\to\mathbb{CP}^1$$\Phi(\varphi_1^{-1}(u,v))=\psi_1^{-1}(u,v)$$\Phi(\varphi_2^{-1}(u,v))=\psi_2^{-1}(u,v)$, para cualquier $(u,v)\in\mathbb{R}^2.$ Este es un muy bien definido mapa, ya que si $\varphi_1^{-1}(u,v)=\varphi_2^{-1}(x,y)$ $$(x,y)=\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}(u,v)=\psi_2\circ\psi_1^{-1}(u,v),$$ de modo que $\psi_2^{-1}(x,y)=\psi_1^{-1}(u,v).$ En la misma manera, tenemos una bien definida inverso $\Phi^{-1}:\mathbb{CP}^1\to S^2$ definido por $\Phi^{-1}(\psi_1^{-1}(u,v))=\varphi_1^{-1}(u,v)$ $\Phi^{-1}(\psi_2^{-1}(u,v))=\varphi_2^{-1}(u,v)$ cualquier $(u,v)\in\mathbb{R}^2.$ me voy a dejar a usted para comprobar que $\Phi$ $\Phi^{-1}$ son a la vez suave; por supuesto que esto es más fácil hacer mediante la comprobación de que el local de coordenadas de mapas en términos de $\varphi_1,\varphi_2,\psi_1,\psi_2$ son lisas.

Más allá de todos los detalles anteriormente, esto sólo refleja el hecho general de que dos colectores se diffeomorphic cuando se les puede dar a cada una de coordenadas atlas con los mismos mapas de transición.

Answer 2

Véase la página de Wikipedia sobre la esfera de Riemann: