Si yo sé el orden de cada elemento en un grupo, ¿sabe el grupo?

Question

Supongamos que $ $G es un grupo finito y sé para todos \leq $k | $ G| que exactamente $n_k$ elementos $ $G tienen orden $k$. ¿Sé lo que es el grupo? ¿Hay un contraejemplo donde dos grupos $G$ y $H$ tienen el mismo número de elementos para cada pedido, pero es de $G$ no isomorfo a $H$? Sospecho que hay, pero no he pensado en uno.

Answer 1

Tomar $G=\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/4$, y $H=Q_8\times \mathbb{Z}/2$ de pedido de $16$, donde $Q_8$ denota el grupo de cuaterniones. Ambos grupos tienen exactamente $1$ elemento de orden $1$, $3$ elementos de orden $2$ y $12$ elementos de orden $4$.

Edit: he entendido la pregunta de la siguiente manera: existe un contraejemplo en el que dos grupos de $G$ y $H$ tienen el mismo número de elementos de cada orden, pero $G$ no es isomorfo a $H$ ? ¿Es realmente necesario, que todos los elementos diferentes de $1$ de $G$ tienen el mismo orden ?

Answer 2

Aquí hay un ejemplo con dos grupos de orden $27$. Considerar el grupo de $G$, que es abelian elemental (todos elementos $x \in G$ satisfacer $x ^ {3} = 1$), de orden $27$. Y entonces $H$ el grupo no abeliano de orden $27$ y exponente $3$ (una vez más, $x ^ {3} = 1$ por todas $x \in H$). Concretamente, \left\{\$, \begin{bmatrix} 1 & una & b\\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}: a, b, c \in F \,\right\}, $$ donde $F = \mathbb{Z}/ 3 \mathbb{Z}$ es el campo con tres elementos.

Answer 3

Deje que $p$ ser un extraño prime. Deje de $G$ ser la no-abelian grupo de matrices de la forma $$\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(3,\mathbb F_p).$$ Entonces $|G|=p^3$ y cada elemento de $g\ne 1$ ha pedido $p$; esto se deduce del hecho de que $g-1$ es nilpotent, por lo tanto $(g-1)^p=(g-1)^3=0$ y finalmente $g^p=(1+(g-1))^p=1^p+(g-q)^p=1$.

Asimismo, el grupo abelian $H=(\mathbb Z/p\mathbb Z)^3$ es también exponente de $p$, es decir, todos los elementos de $\ne1$ fin $p$. $H$ es abelian y $G$ no es, ciertamente, $G\no\cong H$.