Supongamos que tenemos una matriz infinita A = (a ij ) (i, j enteros positivos). ¿Cuál es la definición "correcta" de determinante de una matriz de este tipo? (¿O acaso existe tal noción?) Por supuesto, no espero que todas las matrices de este tipo tengan un determinante (es de suponer que hay cuestiones de convergencia), pero ¿cuál debería ser la cantidad? El problema que tengo es que hay varias formas de ver el determinante de una matriz cuadrada finita, y no tengo claro cuál es la "esencia" del determinante.
Respuestas
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Existe una clase de operadores lineales que tienen un determinante. Por alguna extraña razón, se conocen como "operadores con determinante".
Para los espacios de Banach, los detalles esenciales son los siguientes. Fijemos un espacio de Banach, X, y consideremos la rango finito operadores lineales. Esto significa que T: X → X es tal que Im(T) es de dimensión finita. Tales operadores tienen una traza bien definida, tr(T). Usando esta traza podemos definir una norma en el subespacio de operadores de rango finito. Si nuestro operador fuera diagonalizable, lo definiríamos como la suma de los valores absolutos de los valores propios (de los cuales sólo finitamente muchos son distintos de cero, por supuesto). Esta norma es más fina que la norma del operador. A continuación, tomamos el cierre en el espacio de todos los operadores del espacio de operadores de rango finito con respecto a esta norma de traza. Estos operadores se denominan clase trace operadores. Para ellos, existe una noción bien definida de traza.
(Por cierto, estos operadores forman un ideal de dos caras en el espacio de todos los operadores y son en realidad el dual del espacio de todos los operadores a través del emparejamiento (S,T) → tr(ST)).
Ahora bien, la traza y el determinante están estrechamente relacionados a través de la fórula e tr T \= det e T . Esto significa que podemos utilizar nuestros operadores de clase traza para definir una nueva clase de "operadores con un determinante". La propiedad clave debería ser que el exponencial de un operador de clase de traza debería tener un determinante. Esto sugiere examinar la familia de operadores que difieren de la identidad por un operador de clase de traza. Dentro de ella, podemos considerar el grupo de las unidades, es decir, los operadores invertibles.
Por tanto, un "operador con determinante" es un operador invertible que difiere de la identidad en uno de clase traza.
Para más detalles, recomiendo el libro "Trace ideals and their applications" de Barry Simon (MR541149) y el artículo "On the homotopy type of certain groups of operators" de Richard Palais (MR0175130).
Pero definir el determinante de un operador arbitrario es, por supuesto, imposible. Siempre se puede imaginar una renormalización para un particular pero simplemente no va a haber un sistema que funcione para todo: obviamente det(I) = 1 pero entonces det(2I) = ?
(También debo decir que he elegido los espacios de Banach para facilitar la exposición. Se puede generalizar a espacios topológicos localmente convexos, pero eso implica manejar materiales nucleares, por lo que se recomienda precaución).
Vetle
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Hay muchas sutilezas que hay que tener en cuenta. En primer lugar, las "matrices infinitas" no están bien definidas como transformaciones lineales sin hipótesis adicionales. Un caso típico en combinatoria es que la matriz sea triangular y sólo te interese cómo actúa en un espacio de series de potencias formales; la topología t-ádica es lo que te da la convergencia en este caso. Un caso típico en análisis es que se describa un operador lineal acotado entre espacios de Hilbert separables, y entonces hay que trabajar con la noción de base ortonormal. En cualquier caso, se necesita una topología en el espacio vectorial subyacente para que las sumas infinitas tengan sentido.
Si definimos el determinante de una matriz como el producto de sus valores propios, nos encontramos con un problema inmediato: Las "matrices infinitas" no tienen por qué tenerlo, ni siquiera en un campo algebraicamente cerrado. Y en el mejor de los casos, por ejemplo, las autoadjuntas compactas, los valores propios tienden a cero y su producto es cero. También creo que se puede demostrar que no existe un homomorfismo continuo no trivial GL(H) -> C para H un espacio de Hilbert. Por último, si se piensa en el determinante en términos de potencias exteriores, entonces no es difícil ver que para un espacio infinito-dimensional H, como quiera que se definan las potencias exteriores de H siempre deben ser infinito-dimensionales.
Dicho todo esto, existe una noción de determinante regularizado en la literatura, pero me temo que no podría decirle nada al respecto.
