Tensor simétrico del álgebra de Lie de $su(N)$

Question

Estoy interesado en conocer la forma exacta de la anticonmutación de dos generadores de $su(N)$ álgebra de mentira.

Denotemos $T^a$ para ser el generador de $su(N)$ álgebra de mentira en la representación definitoria. Dado que el número de generadores es $n^2-1$ el índice toma valor en $a=1, ..., n-1$ . La normalización de $T^a$ es $$Tr(T^aT^b)=\frac{1}{2} \delta^{ab}$$ La anticonmutación de dos generadores de este tipo es $$\{T^a, T^b\}=T^a T^b+T^bT^a=\frac{1}{N}\delta^{ab}I+d^{abc}T^c$$ donde $d^{abc}$ es un tensor totalmente simétrico en los tres índices. En https://pdfs.semanticscholar.org/1101/914fc76a36d4fb0ab0022f8c4ec6295d8d1f.pdf se demostró que $$d^{abc}d^{abh}=\frac{N^2-4}{N}\delta^{ch}$$ donde se sumarán los índices repetidos. En el ejemplo anterior, contraemos dos índices de cada $d$ -tensor.

Mis preguntas son:

1) ¿Existe una expresión sencilla para $$d^{abc}d^{agh}$$ donde sólo contratamos un índice para cada $d$ -¿tensor? (en términos de $N$ )

2) ¿Existe una expresión sencilla para $d^{abc}$ mismo? (en términos de $N$ )

Answer 1

No existe una expresión sencilla para el $d^{abc}$ por la sencilla razón de que dependen de la base. A saber, si me dan un conjunto de generadores $T^a$ que generan $SU(N)$ y una matriz unitaria $A$ entonces las matrices

$$(T')^a \equiv A^a{}_b T^b$$

también generan $SU(N)$ y obedecer

$$\text{tr}\; T'^a T'^b = \frac{1}{2} \delta^{ab}.$$

Sin embargo, a menos que $A$ es la matriz identidad, la $d$ -coeficientes tras el cambio de base leídos

$$d'^{abc} = A^a{}_{\alpha} \, A^{b}{}_\beta \, d^{\alpha \beta \gamma} \,(A^{-1})^c{}_\gamma \neq d^{abc}.$$

Algunas identidades, como la que has mostrado, son claramente independientes de la base, sin embargo los valores numéricos de los coeficientes $d^{abc}$ no son universales.