Pregunta sobre la continuidad absoluta

Question

Sea $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ sea continua. Supongamos que $f'(x)$ existe y satisface $|f'(x)|\leqslant \frac{1}{\sqrt{x}}$ para cada $x$ en $(0,1]$ .

Tengo que demostrar lo siguiente:
1. para cada $\varepsilon \gt 0$ , $f$ es absolutamente continua en $[\varepsilon, 1]$ .
2. $|f(1)-f(0)|\leqslant 2.$

Mi intento.

1. $|f'(x)|=\lim_{y\rightarrow x}|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}|\leqslant 1/\sqrt{x}$ . Así que $$|f(y)-f(x)|\leqslant \frac{|y-x|}{\sqrt{x}}\lt \delta /\sqrt{x}$$
   Sea $\varepsilon \gt 0$ . Sea $\delta = \varepsilon\cdot \sqrt{x}$ . Sea $\{[x_i-y_i]\}$ sea una colección de intervalos no solapados con $\sum |x_i-y_i|\lt \delta$ . Entonces tenemos $$\sum |f(x_i)-f(y_i)|\lt \varepsilon.$$ Así que $f$ es absolutamente continua.

2. Desde $f$ es absolutamente continua, es una integral definida y $$f(t)=f(a)+\int_a^t f'(x)~dx.$$ Entonces $$ \begin{align*} |f(1)-f(0)| & = |\int_a^1 f'(x)~dx-\int_a^0 f'(x)~dx|\\ & = |\int_0^1 f'(x)~ dx|\\ & \leqslant \int_0^1 |f'(x)|~dx\\ & \leqslant \int_0^1 1/\sqrt{x}\\ & = 2. \end{align*} $$
   ¿Está bien lo que he hecho? Gracias.

Answer 1

Pista para la parte 1: Para $x\in[\epsilon,1]$ sabemos que $|f'(x)|\le\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}$ . Así, Para cualquier intervalo $[a_i,b_i]\subset[\epsilon,1]$ tenemos $$ |f(b_i)-f(a_i)|\le\frac{|b_i-a_i|}{\sqrt{\epsilon}} $$ La parte 2 se ve bien.