¿Es posible dar un ejemplo de (o explicar) cómo la teoría de homotopía de esquemas de Voevodsky et al. computa grupos de Chow superiores?
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Eric Haskins
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La cohomología motivacional calcula grupos de Chow. Y, la cohomología motivacional es representable en la categoría A^1. Más concretamente, CH^p(X)=H^2p(X,Z(p)). Los grupos de cohomología de la derecha son representables por espacios "Eilenberg-Mac Lane" en la teoría de la homotopía de A^1. Aquí, por representable, quiero decir que los grupos de cohomología coinciden con clases de homotopía de mapas a algún espacio.
Algunos detalles más: Marc Levine tiene un documento llamado La filtración homotópica de Coniveau ; puede encontrarlo aquí . El título hace referencia a una torre que es un análogo de la resolución de Gersten en teoría K algebraica. Las capas de la filtración homotópica de Coniveau para el espacio que representa la teoría K aparentemente dan el espectro motivacional de Eilenberg-Mac Lane.
Te contaré los detalles. Todo esto está sacado de la introducción del artículo de Levine. Sea E un espectro (en la categoría motiva estable). Para tal espectro E, Levine construye una torre E^(p)->E^(p-1)->...->E. E^(p)(X) es el límite de los espectros con soportes E^W(XxA^n) donde W es cerrado de codimensión al menos p en XxA^n. Entonces, la capa E^(p/p+1) es la cofibra en el nivel p. Cuando se aplica al espectro que representa la teoría K, la rebanada K^(p/p+1)(X) corresponde al grupo de ciclos superiores de Bloch z^p(X). Y, es bien sabido que esto computa grupos (superiores) de Chow y cohomología motivacional.
erik
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3923
Si X no es suave, entonces es posible que los grupos de Chow y la teoría de cohomología motivacional representada por A^1 no estén de acuerdo.
Por ejemplo, si tomamos X como dos copias de A^1 identificadas en un punto, entonces CH^0(X) tiene rango 2, pero la gavilla representada por X en la categoría A^1 es contractible, por lo que H^0(X,Z(0)) tiene rango 1.
Para ver este último punto, consideramos X como el colímite de un diagrama A^1 <- * -> A^1. Como los mapas de este diagrama son monomorfismos de esquemas, son cofibraciones. El colímite del diagrama es, por tanto, equivalente al colímite de homotopía, que es invariante bajo equivalencias puntuales de diagramas. Como A^1 es contractible, nos queda el colímite de * <- * -> *, un punto.
Moralmente, A^1 es contractible, por lo que podemos reducir los A^1 sin cambiar el tipo de homotopía de A^1.
