Holomorphic funciones y los límites de una secuencia

Question

Deje $f$ $g$ dos holomorphic funciones en la conexión de un conjunto abierto $D$ del avión, que no tienen ceros en $D$; si hay una secuencia $(a_n)$ de los puntos de $D$ tal que

$$\lim a_n = a, \qquad a \in D \quad\text{ and } a_n \neq a\text{ for all }n,$$

y si $$\displaystyle\frac{f'(a_n)}{f(a_n)} = \frac{g'(a_n)}{g(a_n)}\qquad\text{ for all }n$$

mostrar que existe una constante $c$ tal que $f(z) = c\cdot g(z)$$D$.

He estado usando lápiz alrededor de este tema por un tiempo y todavía no puede conseguir. Por lo que puedo ver, los siguientes teoremas pueden ser útiles:

1. Si $f$ es holomorphic en $D$ $f$ es analítica en $D$ (puede ser representado como una potencia de la serie)

2. Si $\lim a_n = a$ para los números complejos $a_n$ $a$ tal que $a_n \neq a$ todos los $n$, y $a$, $a_n$ toda la mentira en $D$, luego de una analítica de la función $f$ $D$ $f(a_n) = 0$ para todo n, entonces $f = 0$ es la función cero.

Answer 1

Se puede aplicar la hipótesis, el cociente de la regla, y 2. para mostrar que $\left(\frac{f}{g}\right)'$ es la función cero. Esto significa que $\frac{f}{g}$ es constante, y el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Por el teorema de identidad, las funciones de $f'(z)\over{f(z)}$ $g'(z)\over{g(z)}$ son iguales en todos los de $D$. Estas funciones son holomorphic (ya que el denominador no tiene raíces en $D$) por lo que localmente tiene una antiderivada en cualquier punto de: $log$ $f(z)$ y $log$ $g(z)$ respectivamente. Cuando dos funciones son iguales si su antiderivatives difieren por una constante, entonces tenemos $log$ $f(z)$=$log$ $g(z)$ + $k$. Una vez más, por el teorema de identidad, si $log$ $f(z)$=$log$ $g(z)$ + $k$ en un conjunto abierto, entonces esto también se aplica en todos los de $D$. Ahora sigue que $f$ $g$ difieren por una constante multiplicada.