Generadores de subgrupos de congruencia de SL_2

Question

Para números enteros positivos $n$ y $L$ denotemos por $SL_n(Z,L)$ el nivel $L$ subgrupo de congruencia de $SL_n(Z)$ es decir, el núcleo del homomorfismo $SL_n(Z)\rightarrow SL_n(Z/LZ)$ .

Para $n$ como mínimo $3$ se sabe que $SL_n(Z,L)$ se genera normalmente (como subgrupo de $SL_n(Z)$ ) por L-ésimas potencias de matrices elementales. De hecho, esto es esencialmente equivalente al problema del subgrupo de congruencia para $SL_n(Z)$ .

Sin embargo, esto falla para $SL_2(Z,L)$ desde $SL_2(Z)$ no tiene la propiedad de subgrupo de congruencia.

Pregunta : ¿Existe un buen grupo electrógeno para $SL_2(Z,L)\ ?$ Estoy seguro de que esto está en la literatura en alguna parte, pero no he sido capaz de encontrarlo.

Answer 1

Hola Andy,

No sé si todavía te interesa, pero acabo de encontrar la referencia:

MR0049937 (14.250d) Grosswald, Emil Sobre los generadores parabólicos de los principales subgrupos de congruencia del grupo modular. Amer. J. Math. 74, (1952). 435--443.

Se basa en el trabajo previo de H.Frasch (1933) que dio un conjunto explícito de generadores libres para subgrupos de congruencia principales Gamma(p) en PSL(2,Z), para p primos.

-Ignat

Answer 2

Kulkarni (American J of Math, 113, 6, 1053-1133) da un método para calcular dominios fundamentales agradables para la acción de subgrupos sobre $SL_2(\mathbf{Z})$ en el semiplano superior.

"Agradable" significa, en particular, que el subgrupo es un producto libre de los subgrupos generados por las transformaciones de emparejamiento de bordes. En el caso de $\Gamma(N) =\ker SL_2(\mathbf{Z})\to SL_2 (\mathbf{Z} / {N})$ tenemos un grupo libre y así obtenemos un sistema libre de generadores. El planteamiento de Kulkarni se basa en la observación de que los subgrupos de congruencia de $SL_2(\mathbf{Z})$ están en biyección con los "grafos cuboides bipartitos", que son grafos unitrivalentes con un orden cíclico en las aristas que se encuentran en un vértice trivalente más algunos datos extra. Sin embargo, el método de Kulkarni implica "ensayo y error" y no creo que se conozcan conjuntos explícitos de generadores para grafos generales. $N$ .

Answer 3

Hace poco estuve en un taller sobre formas modulares no congruentes (un subgrupo no congruente de $SL_2(\mathbb{Z})$ es un subgrupo de índice finito que no contiene ningún $\Gamma(N)$ ) cuando surgió esta pregunta. Creo que el consenso fue que, aunque en principio se puede calcular un grupo generador para $\Gamma(N)$ el algoritmo no es muy eficaz para $N$ grande (por grande entiendo mayor que $13$ más o menos). El algoritmo consiste en calcular el símbolo de Farey asociado a $\Gamma(N)$ y obtener representantes coset. La dificultad estriba en que el índice de $\Gamma(N)$ aumenta muy rápidamente, lo que hace que el cálculo del símbolo de Farey sea muy largo.

Ling Long y Chris Kurth han escrito un artículo sobre el algoritmo (en él se hace referencia al artículo de Kulkarni que mencionó algori), que está disponible aquí .

Answer 4

Mi primer intento sería pensar en SL_2(Z,L) actuando sobre el semiplano superior. Puedes ver cuáles son las cúspides y a qué clases de conjugación en SL_2(Z,L) corresponden; modifícalas por el subgrupo normalmente generado por ellas y obtendrás el grupo fundamental de la superficie de Riemann cerrada X(L); supongo que yo intentaría dibujar en el semiplano superior las trayectorias explícitas que sabes que generan la homología ("símbolos modulares") y ver hasta qué punto generan todo el grupo fundamental. (Pero he sido descuidado en muchos sitios aquí y sin duda alguien proporcionará una referencia para que no tengas que hacer nada...)

Answer 5

Sabía que tu pregunta me sonaba. Si L es un primo impar, entonces debería ser el cierre normal de un solo elemento, creo. Aunque no sé si el elemento es lo suficientemente "bonito" para ti.

Véase MR0565476.