¿Existe $f \in \mathbb{C}(X)$ donde $\text{ord}_v(f) = m(v)$ para todos $v \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ ?

Question

Para cada $v \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ , dejemos que $m(v) \in \mathbb{Z}$ . Supongamos que $m(v) = 0$ para casi todos $v \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ y asumir que $$\sum_{v \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}} m(v) = 0.$$ ¿Existe $f \in \mathbb{C}(X)$ tal que $\text{ord}_v(f) = m(v)$ para todos $v \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ ?

Answer 1

Sí, a saber $$\prod_{v\in \mathbb C}(T-v)^{m(v)}$$ (La valoración en $\infty $ será $m(\infty)$ automáticamente).