¿Hay alguna forma sencilla de calcular el número de maneras de escribir un número entero positivo como la suma de tres cuadrados?

Question

Es un teorema estándar que el número de maneras de escribir un número entero positivo N como la suma de dos cuadrados viene dado por cuatro veces la diferencia entre su número de divisores congruentes a 1 mod 4 y su número de divisores congruentes a 3 mod 4. Alternativamente, no hay tales representaciones si la factorización prima de N contiene cualquier primo de la forma 4k+3 un número impar de veces. Si la factorización primaria de N contiene todos esos primos un número par de veces, entonces tenemos

r ₂ (N) = 4(b ₁ + 1)(b ₂ + 1)...(b _r +1)

donde b ₁ , ..., b _r son los exponentes de los primos congruentes a 1 mod 4 en la factorización de N.

Por ejemplo, 325 = 5 2 × 13 se puede escribir de 4(2+1)(1+1) = 24 maneras como suma de cuadrados. Éstas son 18 2 + 1 2 , 17 2 + 6 2 , 15 2 + 10 2 y las representaciones obtenidas a partir de ellas por cambio de signo y/o permutación.

¿Existe una fórmula análoga en el caso de los tres cuadrados? Sé que un número entero se puede escribir como la suma de tres cuadrados si y sólo si no es de la forma 4 m (8n+7). Existe un argumento sencillo que demuestra que el número de formas de escribir todos los números enteros hasta N como suma de tres cuadrados es asintóticamente 4πN 3/2 /3 -- las representaciones de un número entero menor que N como suma de tres cuadrados pueden identificarse con puntos de la bola en R 3 centrado en el origen con radio N 1/2 . Diferenciando, un número entero "típico" cercano a N debería tener aproximadamente 2πN 1/2 representaciones como suma de tres cuadrados. Jugando con algunos datos, parece que

lim _{n → ∞} #{ k ≤ n y r ₃ (k)/k 1/2 ≤ x} / n

puede ser una constante distinta de cero. Es decir, para cada real positivo x, la probabilidad de que un entero aleatorio k pueda escribirse en no más de x k 1/2 se aproxima a alguna constante en el intervalo abierto (0, 1) a medida que k → ∞.

Una forma de demostrarlo (si es que es cierto) sería que existiera alguna fórmula para r ₃ (k), en términos de la factorización en primos, que es por lo que tengo curiosidad.

(Pido disculpas si esto es algo bien conocido por los teóricos de los números, aunque agradecería que me lo indicaran si es así. Yo soy no un teórico de los números, sólo juego con este tipo de cosas de vez en cuando y genero conjeturas divertidas).

Answer 1

No puedo evitar poner lo siguiente, del MOTD en el servidor de Berkeley:

Oct  2: Warning: Due to a known bug, the default Linux document viewer
        evince prints N\*N copies of a PDF file when N copies requested.
        As a workaround, use Adobe Reader acroread for printing multiple
        copies of PDF documents, or use the fact that every natural number
        is a sum of at most four squares.

Answer 2

Me he esforzado bastante en esto, justo cuando se cerraba la reciente pregunta duplicada. Así que lo estoy moviendo.

Quería incluir el punto de vista de Burton Wadsworth Jones, dado en su pequeño libro "The Arithmetic Theory of Quadratic Forms". El teorema, con muchos casos, es que el número de representaciones "primitivas" o "propias" $R_{0}(n)$ de un número por $x^2 + y^2 + z^2,$ (significado $\gcd (x,y,z) = 1$ ) es múltiplo del número de clase de las formas cuadráticas binarias de discriminante $-4n,$ pero el múltiplo cambia en función de las propiedades de congruencia de $n.$ También hay casos "de tierra", aquí $n=1,$ Para obtener el número real de representaciones de un número que no está libre de cuadrados es necesario realizar una suma.

Veamos, si $n$ es múltiplo de 4 no hay representaciones primitivas, ya que $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 \pmod 4$ significa que $x,y,z$ están todos igualados. Pero eso está bien, porque también significa que el número de representaciones de $4n$ es exactamente igual al número de representaciones de $n.$ A $ n \equiv 7 \pmod 8$ no hay ninguna representación.

Para $n > 1$ y $ n \equiv 1 \pmod 8,$ $\; \; R_{0}(n) = 12 h(-4n).$

Para $ n \equiv 3 \pmod 8,$ $ \; \; R_{0}(n) = 8 h(-4n).$

Para $ n \equiv 5 \pmod 8,$ $ \; \; R_{0}(n) = 12 h(-4n).$

Para $ n \equiv 2 \pmod 8,$ $ \; \; R_{0}(n) = 12 h(-4n).$

Para $ n \equiv 6 \pmod 8,$ $ \; \;R_{0}(n) = 12 h(-4n).$

Sólo para incluir algo que no es del todo acerca de las representaciones propias, desde el método de Hecke eigenform uno obtiene, con p un primo impar, $$ R(p^2 n) = (p + 1 - (-n|p) ) \; \; R(n) - \; \; p \; R( n / p^2) $$ donde $R(n)$ es el número de representaciones, tanto propias como impropias, el símbolo de Jacobi $(-n|p)$ se considera 0 si $p | n,$ mientras que $R(n/p^2)$ se considera 0 si $p^2$ no divide $n.$ Esto aparece en un artículo de Hirschhorn y Sellers llamado, y creo que esto es inteligente, "On representations of a number as a sum of three squares" que apareció alrededor de 1999 en una revista con la palabra "Discrete" en el título. Sólo tengo una preimpresión aquí.

Answer 3

Respuesta corta: no.

Respuesta media: Para n cuadrados libres, esto está estrechamente relacionado con el número de clase de Q(sqrt{-n}); este es un resultado de Gauss. Véase Mathworld para una declaración precisa. Este número de clase se puede reescribir en términos del símbolo de residuo cuadrático. Podemos utilizar el fórmula del número de clase para obtener una expresión como suma infinita, o utilizar la evaluación de Dirichlet de L(1, chi) (mismo enlace de Wikipedia) para obtener una expresión finita.

Cuando n no es cuadrado libre, todavía se puede dar una respuesta en términos del producto del número de clase y ciertos factores de corrección elementales, pero los factores de corrección son tan malos que nadie quiere escribirlos. (Con nadie me refiero a que la primera media docena de artículos que encontré en mathscinet no lo hicieron).

Respuesta larga: Encontré un artículo con todos los detalles. Véase el teorema B de Bateman "Sobre las representaciones de un número como suma de tres cuadrados". Trans. Amer. Math. Soc. 71, (1951). 70--101. Así es, yo tampoco lo escribiré :).

Answer 4

Véase Granville-Soundararajan, ``The distribution of values of L(1, \chi ),'' para (lo que se sepa sobre) la distribución de r_3(n)/sqrt(n).