¿Cuándo es $\mathbb P(A\cap B)$ ¿mínimo y máximo?

Question

¿Cuándo es $\mathbb P(A\cap B)$ ¿mínimo y máximo? He dicho que $\mathbb P(A\cap B)$ es máxima cuando $A=B$ y mínima cuando $A$ y $B$ son independientes. Pero la cosa es que no estoy seguro de que $\mathbb P(B\mid A)\geq \mathbb P(B)$ es cierto o no, eso es lo que tengo duda. Efectivamente, $\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B\mid A)$ . Pero, ¿tenemos $\mathbb P(B\mid A)\geq \mathbb P(B)$ ¿o no? En caso afirmativo, ¿por qué?

Answer 1

La probabilidad $\mathbb P(A\cap B)$ es mínimo (en realidad, cero) si $A$ y $B$ son acontecimientos complementarios, como $A$ con cabezas y $B$ tener cruz al lanzar una moneda una vez. Tenga en cuenta que estos eventos no son independientes: $\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(\emptyset)=0$ pero $\mathbb P(A)\cdot \mathbb P( B)=\frac{1}{4}$ . Esto también da un contraejemplo a su segunda pregunta: Tenemos $\mathbb P(B)=1/2$ pero $\mathbb P(B|A)=0$ .

Edición: Y tiene razón: $\mathbb P(A\cap B)$ es máxima cuando los acontecimientos $A$ y $B$ coinciden.