¿pueden los puntos singulares convertirse en no singulares tras un cambio de base?

Question

Sea $X$ sea una superficie normal sobre un campo $k$ . Supongamos que $X$ es singular.

¿Existe una extensión de campo $L/k$ (finito o infinito) tal que $X_L$ ¿es no singular?

La respuesta es no en general. He aquí un ejemplo: $k[x,y]/(y^2-x^3)$ . (Para obtener una superficie considere el ejemplo $k[x,y,z]/(y^2-x^3)$ .)

Pero aún así, ¿existe un $X$ tal que la respuesta sea afirmativa?

Answer 1

Este es un contraejemplo a la respuesta de Hannah.

Considere un campo $k$ de característica $2$ y un elemento $\alpha \in k$ tal que la raíz cuadrada de $\alpha$ no está en $k$ . (Por ejemplo, puede elegir $k=\mathbb{F}_2(t)$ y $\alpha = t$ .) El polinomio $x^2 - \alpha$ es irreducible sobre $k$ de ahí el anillo $L = k[x] / (x^2 - \alpha)$ es un campo. El anillo $$ L \otimes_k L = L[y] / (y^2 - \alpha) = L[y] / (y^2 - \bar{x}^2) = L[y] / (y + \bar{x})^2 $$ es local, pero no se reduce. Por lo tanto, la variedad $\mathrm{Spec} L$ es regular, pero $(\mathrm{Spec} L)_L$ no es regular.

¡Hay que distinguir entre regular y suave!

Answer 2

Lo contrario también es cierto. Es decir, que $X$ sea una variedad no singular sobre $k$ . Entonces $X_L$ sigue siendo no singular. En conclusión, una variedad $X$ es no singular si y sólo si $X_L$ es no singular. (Esto funciona para todos los $k$ perfecto o imperfecto).