Dada una secuencia de variables aleatorias iid $X_i$ (sin pérdida de generalidad de $U(0,1)$), un entero $k \ge 1$ y algunos $p \in (0,1)$, la construcción de la secuencia de vectores aleatorios $Z^{(j)}$, $j=0,1,...$ de la siguiente manera. Vamos
$$Z^{(0)}=(X_{(1)},...,X_{(k)}),$$
donde $X_{(l)}$ $l$- fin de estadística de la muestra $\{X_1,...,X_k\}$. Introducir las notaciones
\begin{align} Z^{(j)}&=(Z_{j,1},...,Z_{j,k}),\\ m_j&=\min(Z_{j-1,1},...,Z_{j-1,k},X_{k+j}),\\ M_j&=\max(Z_{j-1,1},...,Z_{j-1,k},X_{k+j}) \end{align}
Entonces
$$Z^{(j)}=(Y_{(1)},...,Y_{(k)})$$
donde $Y_{(l)}$ $l$- fin de estadística de la siguiente set, lo cual es
- El conjunto $\{Z_{j-1,1},...,Z_{j-1,k},X_{k+j}\}\backslash m_j$ con una probabilidad de $p$
- El conjunto $\{Z_{j-1,1},...,Z_{j-1,k},X_{k+j}\}\backslash M_j$ con una probabilidad de $1-p$
La decisión entre los casos 1. y 2. se hace de forma independiente de la $X_i$ (y, por tanto, de la $Z^{(i)}$).
El $Z^{(j)}$ son admitidos en el $k$-dimensiones simplex $S_k = \{(x_1, \dots, x_k) \in \mathbb{R}^k \, | \, 0 \le x_1 \le x_2 \le \dots \le x_k \le 1 \}$.
Parece que el $Z^{(j)}$ convergen en la distribución. Es esto conocido? Se sabe algo de la limitación de la distribución?
Para el caso de $k=1$, la respuesta es la siguiente. Indicar el cdf de $Z^{(j)}$$F_j$.
La cdf de $\min(X_{n+1},Z^{(n)})$ ($U(0,1)$de los casos) es
$$x+F_n(x)−xF_n(x)$$ y el cdf de $\max(X_{n+1},Z^{(n)})$ es
$$xF_n(x)$$.
Por lo tanto
\begin{align} F_{n+1}(x)&=p(x+F_n(x)−xF_n(x))+(1−p)xF_n(x)\\ &=px+(p(1-x)+(1-p)x)F_n(x) \end{align}
Desde $p(1-x)+(1-p)x\in(0,1)$ tenemos que
$$\lim F_{n}(x)=\frac{px}{1-p(1-x)-(1-p)x}$$
Estoy buscando resultados generales (caso de $k>1$) para la limitación de la distribución de la totalidad de vectores $Z^{(j)}$ o de algunos de sus componentes (distribuciones marginales).
