Estoy un poco perplejo en este ejercicio en dos puntos.
Primero expondré el problema:
Dos funciones $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son iguales hasta $n$ ª orden en $a$ si
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - g(a + h)}{h^n} = 0$$
(a) Demuestre que $f$ es diferenciable en $a$ si y sólo si existe una función $g$ de la forma $g(x) = a_0 + a_1(x-1)$ tal que $f$ y $g$ son iguales hasta el primer orden en $a$ .
(b) Si $f'(a), \ldots , f^{(n)}(a)$ demostrar que $f$ y la función $g$ definido por
$$g(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i$$
son iguales hasta $n$ ª orden en $a$ . Pista: El límite
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}{(x - a)^n}$$
puede evaluarse mediante la regla de L'Hospital.
En la parte (a), ( $\Rightarrow$ ) Yo sí, pero a la inversa sólo me falta un detalle. No veo por qué
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - a_0 - a_1h}{h} = 0$$
implica que $$a_0 = f(a)$$
He intentado sumar y restar $f(a)$ en el numerador del límite para ver si podía usar la desigualdad del triángulo o alguna forma de ella para demostrar que
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a) - a_1h}{h} \leq \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - a_0 - a_1h}{h} = 0$$
pero no he podido probarlo.
Por otro lado, para (b) utilicé la pista y obtuve que
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}{(x - a)^n} = \lim_{x \to a} \frac{f^{n-1}(x) - f^{n-1}(a)}{(n-1)!(x-a)} = \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}$$
y luego
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}{(x - a)^n} = \lim_{x \to a} \left[\frac{f(x) - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}{(x - a)^n}\right] - \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\\ = \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!} - \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \neq 0$$
¿Alguien puede decirme qué estoy haciendo mal?
Editar : He calculado mal el factorial en el denominador. Error tonto. En realidad es:
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}{(x - a)^n} = \lim_{x \to a} \frac{f^{n-1}(x) - f^{n-1}(a)}{n!(x-a)} = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$
Y entonces
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}{(x - a)^n} = \lim_{x \to a} \left[\frac{f(x) - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}{(x - a)^n}\right] - \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\\ = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} - \frac{f^{(n)}(a)}{n!} = 0$$
