valores propios de $Q+\mu cc^T$ como $\mu\rightarrow +\infty$

Question

Supongamos que $Q$ es un $n\times n$ SPD, $c$ es un $n\times 1$ matriz. Sea $\mu>0$ entonces uno de los valores propios de $Q+\mu cc^T$ irá al infinito como $\mu\rightarrow +\infty$ y los demás valores propios seguirán estando acotados.

¿Alguna pista sobre cómo probar la afirmación?

Answer 1

Sea $\lambda_{1}(\mu)\geq\lambda_{2}(\mu)\geq\ldots\geq\lambda_{n}(\mu)$ son los valores propios de $Q+\mu cc^{*}$ donde $^{*}$ denota transposición. Utilice la Principio minimax de Courant el mayor valor propio viene dado por

$$\lambda_{1}(\mu)=\max\limits_{|x|=1}x^{*}(Q+\mu cc^{*})x$$ Entonces $\lambda_{1}(\mu)\geq\mu$ . Los valores propios restantes vienen dados por $$\lambda_{j}(\mu)=\min\limits_{K\in\mathbb{C}^{(j-1)\times n}}\max\limits_{|x|=1,Kx=0}x^{*}(Q+\mu cc^{*})x$$ En particular, para la segunda puede elegir $K=c^{*}$ Así que $$\lambda_{2}(\mu) =\min\limits_{K\in\mathbb{C}^{1\times n}}\max\limits_{|x|=1,Kx=0}x^{*}(Q+\mu cc^{*})x \leq\max\limits_{|x|=1,c^{*}x=0}x^{*}(Q+\mu cc^{*})x =\max\limits_{|x|=1,c^{*}x=0}x^{*}Qx$$ Por lo tanto, $\lambda_{2}(\mu)$ (y por tanto el resto de ellas) permanece acotada independientemente de $\mu$

Un razonamiento similar se aplica a las perturbaciones de rango prescrito $Q+\mu K$ , $\mbox{rank}(K)=k$ mostrando que sólo la primera $k$ divergen con $\mu$

Answer 2

La ecuación característica de $Q+\mu cc^T$ es:

$$det((Q + \mu cc^T)-\lambda I)=det((Q-\lambda I) + \mu cc^T)=0.$$

Se puede transformar, utilizando el lema determinante de la matriz ( https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemma ), en:

$$\left(1+\mu c^T(Q-\lambda I)^{-1}c\right)det(Q)=0$$

Porque $det(Q)\neq0$ Esto equivale a la siguiente ecuación:

$$\tag{1}c^T(Q-\lambda I)^{-1}c=-\frac{1}{\mu}.$$

Diagonalicemos ahora $(Q-\lambda I)^{-1}$ .

Suponemos que $A$ es diagonalizable bajo la forma $Q=R^{-1} D R=R^T D R$ con

• $R$ invertible, porque $A$ es SDP, con la propiedad esencial de que $R$ es ortogonal, es decir $R^{-1}=R^T$ y

• $D:=diag(\lambda_1,...\lambda_n)$ .

Entonces tenemos $Q-\lambda I=R^{-1} D R-\lambda R^{-1}R$ es decir, $Q-\lambda I=R^{-1}(D-\lambda I)R.$

Así,

$$\tag{2}(Q-\lambda I)^{-1}=R^{-1}(D-\lambda I)^{-1}R=R^{T}(D-\lambda I)^{-1}R.$$

Insertando (2) en (1), y fijando $v:=Rc$ , obtenemos:

$$\tag{3}v^T(D-\lambda I)^{-1}v=-\frac{1}{\mu}$$

Sea $v_k$ sean los coeficientes de $v$ . (3) es equivalente a:

$$\tag{4}\underbrace{\sum_{k=1}^n \dfrac{v_k^2}{\lambda_k - \lambda}}_{f(\lambda)}=-\frac{1}{\mu}$$

Ahora, un final gráfico sobre un caso particular, explicando cómo se comportan las raíces, para que se entienda:

Hemos tomado un caso particular con $n=3$ ,

$$f(\lambda):=\dfrac{4}{1-\lambda}+\dfrac{2}{3-\lambda}+\dfrac{1}{6-\lambda}$$

con $f'(\lambda)>0$ así $f$ creciente.

Esta curva tiene el $\lambda$ -para su asíntota horizontal y posee $3$ asíntotas verticales (una para cada polo de $f$ ). Por supuesto, lo que vamos a decir es inmediatamente generalizable (Por ejemplo, el hecho de que $f'(x)>0$ ). Las raíces de la ecuación (4) son las abscisas de los puntos de intersección entre la curva y la recta horizontal (roja) de ecuación $y=-\frac{1}{\mu}$ . En $\mu \to +\infty$ , $-\frac{1}{\mu} \to 0_{-}$ la línea roja interseca la curva

• en puntos "ordinarios" (todos menos el último) que basculan suavemente hacia la derecha, permaneciendo en sus "intervalos de confinamiento", aquí $(1,3)$ o $(3,6)$ ,

• en un "punto extraordinario", el de la derecha, cuya abscisa tiende a $+\infty$ .

Observación: Esta técnica de resolución se denomina "método de la ecuación secular" ; véanse, por ejemplo, las páginas 10 y 11 de ( http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn69.pdf ) o ( http://www2.cs.cas.cz/harrachov/slides/Golub.pdf ))