Funciones convexas en parte integral de la desigualdad

Question

Deje $\mu,\sigma>0$ y definir la función $f$ como sigue: $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}\right)$$ ¿Cómo puedo demostrar que $$\int\limits_{-\infty}^\infty x\log|x|f(x)\mathrm dx\geq \underbrace{\left(\int\limits_{-\infty}^\infty x f(x)\mathrm dx\right)}_\mu\cdot\left(\int\limits_{-\infty}^\infty \log|x| f(x)\mathrm dx\right)$$ que también es equivalente a $\mathsf E[ X\log|X|]\geq \underbrace{\mathsf EX}_\mu\cdot\mathsf E\log|X|$ para una variable aleatoria $X\sim\mathscr N(\mu,\sigma^2).$

Answer 1

Cambio de la variable ficticia $x\mapsto x+\mu$: $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty x\log|x|f(x)\,\mathrm{d}x &=\int_{-\infty}^\infty(x+\mu)\log|x+\mu|f(x+\mu)\,\mathrm{d}x\\ &=\mu\int_{-\infty}^\infty\log|x+\mu|f(x+\mu)\,\mathrm{d}x\\ &\phantom{=}+\int_{-\infty}^\infty x\log|x+\mu|f(x+\mu)\,\mathrm{d}x\\ &=\mu\int_{-\infty}^\infty\log|x|f(x)\,\mathrm{d}x\\ &\phantom{=}+\int_{-\infty}^\infty x\log|x+\mu|f(x+\mu)\,\mathrm{d}x\tag{1} \end{align}$$ Siguiente $$\begin{align} \varphi(x) &=\int_{-\infty}^\infty x\log|x|f(x)\,\mathrm{d}x-\mu\int_{-\infty}^\infty \log|x|f(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{-\infty}^\infty x\log|x+\mu|f(x+\mu)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x\log|x+\mu|\;e^{-\frac12(x/\sigma)^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x\log|x+\mu/\sigma|\;e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}=\hspace{-11.5pt}\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x+\mu/\sigma}\;e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x\tag{2} \end{align}$$ $\varphi(x)$ es una función impar de $\mu$, lo cual es positivo cuando $\mu>0$.

Primera nota de que $$\begin{align} \varphi(\mu)+\varphi(-\mu) &=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} =\hspace{-11.5pt}\int_{-\infty}^\infty\frac{2x}{x^2-(\mu/\sigma)^2}\;e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x\\ &=0\tag{3} \end{align}$$ desde $(3)$ es la integral de una función impar de veces una función par. Por lo tanto, $\varphi$ es una función impar.

Además, desde el $\varphi$ es impar, por $\mu>0$, $$\begin{align} 2\varphi(\mu) &=\varphi(\mu)-\varphi(-\mu)\\ &=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}=\hspace{-11.5pt}\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x}\;\left(e^{-(x-\mu/\sigma)^2/2}-e^{-(x+\mu/\sigma)^2/2}\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}=\hspace{-11.5pt}\int_{-\infty}^\infty\frac{2}{x}\sinh\left(\frac{x\mu}{\sigma}\right)e^{-\frac12\left(x^2+(\mu/\sigma)^2\right)}\,\mathrm{d}x \tag{4} \end{align}$$ Por lo tanto, el integrando en $(4)$ es positivo para $\mu>0$. Por lo tanto, $\varphi(\mu)>0$$\mu>0$.

Por lo tanto, su desigualdad se cumple para $\mu>0$.

Answer 2

A continuación es probabilística y algo noncomputational prueba.

Ignoramos la restricción a la distribución normal en lo que sigue a continuación. En lugar de ello, consideramos una media de cero la variable aleatoria $Z$, con una distribución simétrica alrededor de cero y establecer$X = \mu + Z$$\mu \in \mathbb R$.

Reclamo: Vamos a $X$ ser descrito como el anterior tal que $\mathbb E X\log|X|$ es finito para cada $\mu$. Entonces, para $\mu \geq 0$, $$\mathbb E X \log |X| \geq \mu \mathbb E \log |X| \>$$ y para $\mu < 0$, $$\mathbb E X \log |X| \leq \mu \mathbb E \log |X| \>.$$

Prueba. Desde $X = \mu + Z$, podemos observar que $$\mathbb E X \log |X| = \mu \mathbb E \log |X| + \mathbb E Z \log |\mu + Z| \>,$$ y así es suficiente para analizar el segundo término en el lado derecho.

Definir $$f(\mu) := \mathbb E Z \log|\mu+Z| \>.$$

Luego, por la simetría de $Z$, tenemos $$f(-\mu) = \mathbb E Z \log|{-\mu}+Z| = \mathbb E Z \log|\mu-Z| = - \mathbb E \tilde Z \log|\mu + \tilde Z| = - f(\mu) \>,$$ donde $\tilde Z = - Z$ tiene la misma distribución que $Z$ y la última igualdad se sigue de este hecho. Esto muestra el $f$ es extraño como una función de la $\mu$.

Ahora, para $\mu \neq 0$, $$\frac{f(\mu) - f(-\mu)}{\mu} = \mathbb E \frac{Z}{\mu} \log \left|\frac{1+ Z/\mu}{1 - Z/\mu}\right| \geq 0\>,$$ desde $x \log\left|\frac{1+x}{1-x}\right| \geq 0$, a partir de la cual llegamos a la conclusión de que $f(\mu) \geq 0$ todos los $\mu > 0$.

Por lo tanto, para $\mu > 0$, $\mu \mathbb E \log |X|$ es el límite inferior de la cantidad de interés y por $\mu < 0$, que es un límite superior.

NB. En el caso particular de una distribución normal, $X \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)$$Z \sim N(0,\sigma^2)$. El momento en que una de las condiciones establecidas en la demanda es satisfecha.

Answer 3

$\int x log \vert x \vert f(x) dx - \mu \int log \vert x \vert f(x) dx = \int( x - \mu) log \vert x \vert f(x) dx = \int x log \vert x + \mu \vert \phi(x) dx = \int_0^{\infty} x log(\vert \frac {\mu +x}{\mu - x}\vert )\phi(x) dx$ y el integrando es positivo. $\phi$ es simétrica, es todo lo que se usa.