Superficie mínima en una bola

Question

Supongamos una superficie mínima $\Sigma$ tiene límite en la esfera unitaria del espacio euclídeo y $r$ es la distancia desde $\Sigma$ al centro de la bola. ¿Es cierto que $$\mathop{\rm area} \Sigma\ge \pi\cdot(1-r^2).$$

Observaciones:

• El problema se resuelve en todas las dimensiones y codimensiones, véase "Límites de área para un mínimo..." por Brendle y Hung en 2016. (Gracias a Rbega por la referencia).

• Si $r=0$ la afirmación se deduce directamente de la fórmula de monotonicidad.

• Si $\Sigma$ es disco topológico la respuesta es SÍ, véase la respuesta de Oleg Eroshkin más abajo.

• La cuestión general se formula como conjetura en 1975 --- véase el comentario de Ian Agol.

• Existe un análogo en toda dimensión y codimensión para minimización de áreas superficies, véase Alexander, H.; Hoffman, D.; Osserman, R. Estimaciones de área para submanifolds del espacio euclídeo. 1974.

Answer 1

Este resultado (y varios similares) se demostraron en un bonito artículo Alexander, H.; Osserman, R. "Límites de área para varias clases de superficies". Amer. J. Math. 97 (1975), no. 3, 753--769.

Answer 2

Esto acaba de ser resuelto (en toda su generalidad) por Brendle y Hung utilizando la fórmula de la primera variación junto con una inteligente (aunque misteriosa) elección del campo vectorial.

Answer 3

Una observación obvia (de la que probablemente ya seas consciente) es que si el límite de la superficie está conectado, debe tener una longitud de al menos $2\pi\sqrt{1-r^2}$ o bien está contenida en una luna cuyo casco convexo no contiene ningún punto a la distancia $r$ desde el centro. En el caso muy especial de que tu superficie sea un disco topológico transversal a una foliación de la bola por esferas concéntricas, la fórmula del coárea (obtenida integrando las longitudes de la intersección de tu superficie con esferas concéntricas, y utilizando esta observación) da una estimación del área, pero un cálculo rápido muestra que no es lo suficientemente buena para demostrar lo que quieres.

Answer 4

Creo que existe tal superficie mínima con área menor que pi(1-r^2). Mira el catenoide formado por la rotación de y a(cosh a) sobre el eje x donde a es pequeño la distancia desde el origen será 2a o más con el mínimo en x=0. Ahora intersecará al círculo en un valor de x menor que (ln (a^- 1))^2 en realidad mucho antes de que pero claramente e^((log a)^2) es a^(ln a) (nota esto es un pequeño número a una gran potencia negativa que da un gran número que es más grande que 2/a que es todo lo que necesito (nota también estoy sobreestimando el estimo el área con dos conos usando la fórmula 2(pi)rs que tendrá un área mayor que la superficie mínima y obtengo un límite superior de 2(ln a)^2 - un pequeño factor debido a que el círculo en la superficie mínima es 2(pi)rs. un pequeño factor debido al círculo en el origen que ignoro puesto que el número ya es lo suficientemente pequeño, por no mencionar que ya estoy sobrestimando enormemente la longitud. Así que obtengo un límite superior del área de 2(ln a)^2 que es menor que pi(1-4a^2).