Digamos que $X$ es una variable aleatoria absolutamente continua, por ejemplo $X\sim N(0,1)$ y $Y=X+1$ . Es intuitivo que $P(Y=1 \mid X=0)$ debe ser $1$ dada la fuerte correlación entre las variables. Sin embargo, no consigo formalmente probar esta afirmación.
Por supuesto, el problema es que estamos condicionando un suceso de probabilidad cero. He probado dos enfoques, pero obtuve resultados contradictorios, así que supongo que hay un error oculto en alguna parte, o que la probabilidad ni siquiera está definida.
Mi(s) intento(s):
En primer lugar, vamos a denotar los acontecimientos $A=\{Y=1\}$ , $B=\{X=0\}$ , $B_n=\{X\in(-\frac1n,\frac1n)\}$ y utilice el procedimiento de limitación (tal como está escrito en Wikipedia ). Claramente, $B_n \downarrow B$ y escribimos:
\begin{align} P(A\mid B)&=\lim_{n\to\infty}\frac{P(A\cap B_n)}{P(B_n)} \\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{P(X+1=1, X\in(-\frac1n,\frac1n))}{P(X\in(-\frac1n,\frac1n))}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{P(X=0, X\in(-\frac1n,\frac1n))}{P(X\in(-\frac1n,\frac1n))}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{P(X=0)}{P(X\in(-\frac1n,\frac1n))}=0, \end{align} ya que X es continuo, por lo que el numerador es cero para cada $n$ .
Ese resultado intuitivamente no tiene ningún sentido, así que lo intenté de otra manera, es decir, derivar la distribución condicional de $Y$ dado $X=0$ (utilizando el mismo procedimiento de limitación). \begin{align} P(Y\leq t\mid X=0)&=P(X\leq t-1\mid X=0)\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{P(X\leq t-1, X\in(-\frac1n,\frac1n))}{P(X\in(-\frac1n,\frac1n))}\\ &= \begin{cases}0,\ t<1 \\\frac12,\ t=1\\ 1,\ t>1\end{cases} , \end{align} que no es una función de distribución (no continua derecha).
Sin embargo, tomar $B_n=\{X\in\left(-\frac1n,0\right]\}$ en lugar de $\{X\in(-\frac1n,\frac1n)\}$ nos deshacemos de ese caso límite en $1$ y obtenemos una bonita función de distribución $$P(Y\leq t\mid X=0)=\begin{cases}0,\ t<1 \\ 1,\ t\geq1\end{cases},$$ forma que concluimos que $Y\stackrel{a.c.}{=}1$ dado $X=0$ y que finalmente coincide con nuestra intuición. De ahí se desprende directamente la afirmación inicial.
Así que, al final, parece que he conseguido dar una prueba de la afirmación, pero como los resultados están por todas partes, tengo la impresión de que sólo estaba pescando pruebas de mi intuición y quizá la probabilidad buscada no esté bien definida.
Así que la pregunta es:
¿Es la probabilidad $P(Y=1 \mid X=0)$ bien definida y, en caso afirmativo, ¿existe una formal y la derivación inequívoca de su valor?
PS Aquí hice cálculos sólo para $X\sim N(0,1)$ y $Y=X+1$ pero también me interesa el caso general de la continuidad absoluta $X$ y $Y=f(X)$ (tal vez una condición como $f$ que sea biyectiva).
