Soluciones elementales de f(z+1)-f(z)=g(z) en funciones enteras

Question

Sea g(z) una función entera de variable compleja z. ¿Existe una función entera f(z) tal que f(z+1)-f(z)=g(z)? Como aprendí hace varios años, la respuesta a esta pregunta es es aparentemente "sí pero no me he sentido satisfecho con la prueba porque va más allá de mis conocimientos.

Intenté encontrar f utilizando la expansión en serie de potencias de g, pues eso funciona cuando g es un polinomio. Pero los resultados de las inversiones parciales seguían divergiendo. Representar g como una integral a través de la fórmula de Cauchy, y hacer la inversión dentro de la integración condujo a problemas similares. Quizá sea demasiado optimista, pero una pregunta tan elemental debería tener una solución igualmente elemental. ¿Existe tal solución? Si no es así, ¿hay alguna razón para esperar que no exista una solución simple y elemental?

Answer 1

No he pensado en las estimaciones necesarias, pero parece que se puede usar la aproximación uniforme por polinomios en conjuntos compactos. Para cualquier disco de radio N, existe un polinomio g _N que difiere de g en ese disco a lo sumo, digamos, 1/N o algo así, y un polinomio f _N que satisfaga f _N (z+1)-f _N (z) = g _N (z). También puede exigir límites sobre cómo las derivadas de g _N difieren de las de g. Lo difícil es poner límites a cuánto f _N varía (en un disco de radio N-1) si se varía g _N por una pequeña cantidad.

De todos modos, si superas esa parte, puedes dejar que N llegue hasta el infinito.