Si $P(X<Y)=P(X<g(Y))$ entonces cuál podría ser la forma de $g$ ?

Question

Sea $X$ y $Y$ son dos variables aleatorias continuas y $$P(X<Y)=P(X<g(Y)),$$ para alguna función convexa $g$ .

¿Es cierto que $g$ será siempre una función lineal?

Answer 1

Sea $X<0$ (una variable aleatoria negativa) y $Y\ge 0$ (una variable aleatoria no negativa) y $g(y)=y^2$ convexo. Entonces $$P(X<Y)=P(X<g(Y))=1$$ y $g$ no es lineal. (O $X \sim U[0,1], Y \sim U[2,3]$ y $g(y)=y^2$ .)