Buscar todas las funciones $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ que tienen las dos propiedades siguientes

Question

Buscar todas las funciones $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ que tienen las dos propiedades siguientes

(i) $f(f(x))=x$ $\;$ $\forall \in \mathbb R$

(ii) $x \geq y$ entonces $f(x)\geq f(y)$

Mi enfoque:

$f(f(x))=x$ $\implies$ $f(x)$ es uno-uno y onto.

Así que $f(x)=t$

En $(i)$ propiedad

$f(y)=t$

$\implies$

deje $t\neq x$

Caso $(1)$ $x<t$

$\implies$

$f(x)\leq f(t)$

$\implies$

$t\leq x$

De ahí la contradicción.

Caso $(2)$ $t<x$

$\implies$

$f(t)\leq f(x)$

$\implies$

$x\leq t$

Por lo tanto, de nuevo contradicción

Desde Case $(1)$ y Caso $(2)$

$x=t$

$\implies$

$f(x)=x$ $\;$ $\forall x \in \mathbb R$

Mi duda: ¿Es mi conclusión $f(x)$ es biyectivamente correcto simplemente viendo $f(f(x))=x$ ?

¿Me he perdido algo?

Otra manera de resolver este problema es también apreciada

Answer 1

Su conclusión de $f$ ser biyectivo es correcto, pero innecesario, ya que terminaste probando $f(x)=x$ .

Puede evitar la demostración por contradicción para obtener una demostración más sucinta:

Si $x \le f(x)$ entonces $f(x) \le f(f(x)) = x$ Así que $f(x)=x$ .

Si $x \ge f(x)$ entonces $f(x) \ge f(f(x)) = x$ Así que $f(x)=x$ .