Cuando es un número Entero un Número Racional, y son Todas las Proporciones Racionales, Incluso $\frac{\sqrt{7}}{2}$?

Question

$$\Bbb{Q} = \left\{\frac ab \mid \text{$$ and $b$ are integers and $b \ne 0$} \right\}$$

En otras palabras, un número racional es un número que se puede escribir como un número sobre otro.

Para un entero, el denominador es $1$ en ese caso. Por ejemplo, $5$ puede ser escrito como $\dfrac 51$.

Es $5$ un número racional? O es $\dfrac 51$ un número racional? Yo no soy capaz de averiguar lo que la definición está diciendo en realidad. ¿Cuáles son los números que no puede ser escrito como un entero sobre otro?

Los números irracionales son números que no puede ser escrito como un entero sobre otro. Las raíces de los números que no son cuadrados perfectos son ejemplos de números irracionales.

Sin embargo, ¿qué es esto entonces: $\dfrac {\sqrt 7} {2}$?

Answer 1

Cualquier número por el cual es posible expresar como la relación o cociente de números enteros es un número racional. Así que sí, $5$ es racional, porque es posible expresar esto $\frac 51, \frac {10}{2}...$.

$5$ es también un número entero. Cada número entero es un número racional, pero no todos los números racionales, por ejemplo,$\frac 12$, es un número entero. Sabemos $\frac 12$ es racional, porque es el cociente de dos números enteros.

Sin embargo, $\dfrac {\sqrt 7}{2}$ es no una relación de números enteros. Es un ratio de un no-entero, es decir,$\sqrt 7$, más de un entero. Por lo $\dfrac{\sqrt 7}{2}$ no es racional.

Answer 2

$\sqrt{7}$ no es un número racional.

Usted puede demostrar por el absurdo.

Suponga que usted puede escribir como $\sqrt{7}=\frac{a}{b}$ $a$ $b$ números naturales.

Usted puede suponer sin pérdida de generalidad que $a$ $b$ son coprime. Descomponer $a$ $b$ en factores primos: $a=a_1^{n_1}\dots a_k^{n_k}$$b=b_1^{m_1}\dots b_l^{m_l}$. Todas las $a_i$ son primos y diferente de todas las $b_j$ (también prepara a) porque $a$ $b$ son coprime.

$\sqrt{7}=\frac{a}{b}$ dar $7=\frac{a^2}{b^2}$ por lo tanto $a^2=7\cdot b^2$ por lo tanto $a_1^{2n_1}\dots a_k^{2n_k}=7b_1^{2m_1}\dots b_l^{2m_l}$ por lo tanto una de las $a_i$ $7$ (vamos a decir $a_1=7$). Tenemos: $7^{2n_1-1}\dots a_k^{2n_k}=b_1^{2m_1}\dots b_l^{2m_l}$ por lo tanto $7$ brecha $b_1^{2m_1}\dots b_l^{2m_l}$ por lo tanto una de las $b_j$ $7$ contradicción con $a$ $b$ coprimes.

Answer 3

Aunque hay muchas respuestas ya aquí, a menos que si me he perdido algo que ninguno de ellos realmente se demuestra que $\sqrt{7}/2$ es irracional. Como ya se ha señalado en los comentarios a amWhy la respuesta, no es válido decir que si $a$ no es un número entero, a continuación, $a/b$ es irracional. Sin embargo, es válido decir que si $a$ es irracional e $b$ es racional, entonces $a/b$ es irracional. (Esto es porque si $a/b$ $b$ eran racionales, entonces su producto $a$ sería racional debido a que el producto de los números racionales es siempre racional.) Debido a $\sqrt{7}$ es irracional (como se muestra en la wece la respuesta) y 2 es racional, la relación $\sqrt{7}/2$ es irracional.

Answer 4

Como $5$ puede ser escrito como $\frac 51$, sí, $5$ es un número racional. Todos los números enteros son también racionales. La fracción $\frac{\sqrt 7}2$ no denota un número racional porque el numerador $\sqrt 7$ no es un número entero.

Answer 5

$5$ es un número entero y un número racional. Es la convención que omitimos el denominador cuando se es $1$.

$\frac{\sqrt{7}}{2}$ no es un número racional, ya que no se ajustan a la definición, es decir, el numerador no es un número entero.