Carácter de vacío en la función de partición del bosón compactado

Question

Para un genérico $c \ge 1$ 2D CFT, espero (¿equivocadamente?) poder escribir su función de partición del toro como $$Z(\tau, \bar\tau) = \chi_0(\tau) \bar \chi_0(\bar \tau) + \sum_{(h,\bar h) \ne (0,0)}n_{h,\bar h} \chi_h(\tau) \bar \chi_{\bar h}(\bar \tau)$$ con $$\chi_0(\tau) = \frac{1-q}{\eta(\tau)}q^{-\frac{c-1}{24}} \qquad \chi_h(\tau) = \frac{q^{h-\frac{c-1}{24}}}{\eta(\tau)}$$ El bosón con radio de compactación $R$ tiene función de partición toroidal $$Z(\tau,\bar \tau) = \frac{1}{|\eta(\tau)|^2}\sum_{n,m\in \mathbb Z}q^{(n/R+mR/2)^2/2}\bar q^{(n/R-mR/2)^2/2}=\sum_{n,m}\chi_{h_{n,m}}(\tau)\bar \chi_{\bar h_{n,m}}(\bar \tau)$$ donde en la igualdad final el $(h,\bar h) = (0,0)$ adoptan la forma de caracteres no degenerados con $h,\bar h=0$ . Esto falla claramente mi expectativa, ya que el degenerado $(h,\bar h) = (0,0)$ no aparece.

La respuesta a esta pregunta similar pregunta menciona que existen dos representaciones del álgebra de Virasoro con $h=0$ la degenerada y la no degenerada. Mi pregunta es entonces: ¿por qué aparece aquí el carácter no degenerado para el bosón compactado? ¿Hay algo erróneo en mi suposición de que una CFT genérica puede descomponerse en caracteres como he dicho antes?

Answer 1

Una CFT genérica puede contener o no una representación de identidad, con carácter $\chi_0$ . Por ejemplo, la teoría de Liouville no lo hace. Sin embargo, en el contexto de $c\geq 1$ CFT, a veces uno se restringe a considerar CFTs "compactas", que por definición contienen la identidad.

Entonces, dirán, el bosón libre compactado en $c=1$ no es una CFT compacta? En realidad sí lo es, pero es difícil saberlo a partir de la función de partición. El problema es que los caracteres no caracterizan unívocamente las representaciones, por lo que no se puede leer el contenido de la representación a partir de la función de partición del toro. El carácter $\chi_{h_{0,0}}$ en su función de partición es el carácter de una representación no degenerada, pero esa representación no aparece en el modelo.

Para conocer el contenido de representación del bosón libre hay que remontarse a su construcción a partir del álgebra de Lie afín abeliana. El estado de vacío para esa álgebra obedece a $L_{-1}|0\rangle = 2J_{-1}J_0|0\rangle=0$ donde $L_{-1}$ es un generador de Virasoro y $J_n$ son modos del álgebra de Lie afín abeliana. Así que definitivamente $|0\rangle$ es el vacío, y se espera $\chi_0$ contribuir. Sin embargo, el módulo de vacío también contiene el estado de nivel uno no evanescente $J_{-1}|0\rangle$ por lo que su carácter no es sólo $\chi_0$ . Resulta que el módulo de vacío afín es una suma de infinitos módulos de Virasoro degenerados. A nivel de caracteres, la descomposición es la siguiente $$ 1 = (1-q) + (q-q^4) + (q^4-q^9) + \cdots $$ donde cada término entre paréntesis corresponde a un módulo irreducible degenerado de Virasoro. Entonces $\chi_{h_{0,0}}$ sí aparece, pero no corresponde a una representación de Virasoro no degenerada, y se puede separar $\chi_0$ de él.

Para una referencia, véase https://inspirehep.net/literature/244716 .

Answer 2

La confusión entre caracteres degenerados y no degenerados puede evitarse si se piensa en la descomposición de la función de partición en términos de $U(1)$ -personajes en lugar de Virasoro. La teoría del bosón libre tiene $U(1)$ corrientes conservadas $J(z)=\partial X(z)$ y $\bar{J}(\bar{z})=\bar\partial X(\bar z)$ . Por lo tanto, el álgebra quiral es $U(1)\times U(1)$ . Para esta teoría de campo específica, esta descripción es más fundamental, ya que el tensor de tensiones (cuyos modos generan el álgebra de Virasoro) surge de la construcción de Sugawara, $T(z)= :\!J(z)^2\!: $ .

Ahora, el $U(1)$ -características de las primarias, incluida la identidad viene dada por $$ \chi_{h} = \frac{q^{h-(c-1)/24}}{\eta(\tau)}~.$$ En $q^{1/24}/\eta(\tau)$ cuenta el factor $U(1)$ descendientes del primario, $J_{-1}^{k_1}J_{-2}^{k_2}\cdots|h\rangle$ . Y, no hay diferencia entre el $U(1)$ carácter de vacío y $U(1)$ caracteres no vacíos.