Dada una superficie compacta cerrada $M$ (2-dim colector topológico) isométricamente incrustado en $\mathbb{R}^3$ , ¿hay 8 puntos $x_i\in M(i=1,\dots,8)$ tales que son los vértices de un cubo $C\subset\mathbb{R}^3$ ?
Podemos suponer que (1) $M$ es suave y homeomorfa a la 2-esfera $S^2$ ; (2) $M$ es uniforme; (3) $M$ es $C^2$ -manifold. El caso (1) es el que más me interesa.
No se pueden inscribir cubos en superficies genéricas por razón de dimensión. En efecto, el espacio de cubos en $\mathbb R^3$ es $7=3+3+1$ -mientras que un cubo tiene $8$ vértices, por lo que una superficie impone $8$ condiciones en los vértices del cubo.
Para que este razonamiento dimensional sea riguroso se puede hacer lo siguiente. Tomemos el espacio de polinomios de grado $\le d$ en $\mathbb R^3$ que desaparecen en $8$ vértices de un cubo (distinto de cero). En $n$ suficientemente grande (probablemente $d\ge 3$ será suficiente) este espacio tiene codimensión $8$ en el espacio de todos los polinomios de grado $\le d$ . Así que si tomamos el poli $x^2+y^2+z^2-1$ y añadirle $\varepsilon F$ donde $F$ es un poli genérico de grado $d$ entonces la superficie $\Sigma:=\{x^2+y^2+z^2-1+\varepsilon F=0\}$ no contiene un cubo. Y $\Sigma$ tiene una componente conexa difeomorfa a una esfera.
Sin embargo, no es tan fácil construir un ejemplo concreto de dicha superficie con las manos, porque debe ser bastante asimétrica.
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