Lo siguiente debería ser bastante estándar para cualquier geómetra algebraico.
Sea $X$ sea una variedad compleja compacta, y sea $L$ sea un haz de líneas sobre $X$ . Decimos $L$ está "generada por secciones globales" si para cada punto $p$ en $X$ existe una sección global de $L$ que no desaparece. Si esto es cierto, entonces $L$ determina un mapa a un espacio proyectivo de la siguiente manera. Las secciones globales de $L$ son de dimensión finita, así que elige una base $(a_i)$ . A continuación, envíe un punto $p$ en $X$ al punto proyectivo
$$ [a_1(p):a_2(p):...:a_n(p)] $$
Cabe señalar que $a_i(p)$ es sólo un punto en la fibra de $L$ en $p$ y no un número complejo. Eligiendo un isomorfismo de la fibra sobre $p$ a $\mathbb{C}$ El $a_i(p)$ pueden identificarse con los números complejos. La ambigüedad introducida al elegir este isomorfismo desaparece al tomar las coordenadas proyectivas.
Estas construcciones son notablemente ad hoc para algo que acaba siendo fundacional en geometría algebraica. Requiere que la variedad sea sobre $\mathbb{C}$ y requiere que se tomen algunas decisiones intrascendentes en el camino.
Mi pregunta es, ¿cuáles son las formas más agradables e intrínsecamente algebraicas de construir este mapa? Tres maneras en que esta construcción podría ser más agradable:
- Podría funcionar sobre otros campos, o incluso sobre $\mathbb{Z}$ (aunque entonces no está tan claro qué debe ser un paquete de líneas).
- Podría dar una buena justificación intuitiva de por qué este mapa es una cosa natural y poderosa para mirar.
- Podría prestarse a generalizaciones en distintas direcciones. Por ejemplo, un haz vectorial de rango n V con "suficientes secciones globales" (en algún sentido) debería determinar un mapa de X a $Hom_{\mathbb{C}}(\Gamma(V),\mathbb{C}^n)//GL(n)$ (donde éste es un cociente GIT).
Aparte. ¿Existe siquiera un buen nombre para esta construcción? El "mapa al espacio proyectivo determinado por un haz de líneas" es un poco prolijo.