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Mapas al espacio proyectivo determinados por un haz de líneas

Lo siguiente debería ser bastante estándar para cualquier geómetra algebraico.

Sea $X$ sea una variedad compleja compacta, y sea $L$ sea un haz de líneas sobre $X$ . Decimos $L$ está "generada por secciones globales" si para cada punto $p$ en $X$ existe una sección global de $L$ que no desaparece. Si esto es cierto, entonces $L$ determina un mapa a un espacio proyectivo de la siguiente manera. Las secciones globales de $L$ son de dimensión finita, así que elige una base $(a_i)$ . A continuación, envíe un punto $p$ en $X$ al punto proyectivo

$$ [a_1(p):a_2(p):...:a_n(p)] $$

Cabe señalar que $a_i(p)$ es sólo un punto en la fibra de $L$ en $p$ y no un número complejo. Eligiendo un isomorfismo de la fibra sobre $p$ a $\mathbb{C}$ El $a_i(p)$ pueden identificarse con los números complejos. La ambigüedad introducida al elegir este isomorfismo desaparece al tomar las coordenadas proyectivas.

Estas construcciones son notablemente ad hoc para algo que acaba siendo fundacional en geometría algebraica. Requiere que la variedad sea sobre $\mathbb{C}$ y requiere que se tomen algunas decisiones intrascendentes en el camino.

Mi pregunta es, ¿cuáles son las formas más agradables e intrínsecamente algebraicas de construir este mapa? Tres maneras en que esta construcción podría ser más agradable:

  • Podría funcionar sobre otros campos, o incluso sobre $\mathbb{Z}$ (aunque entonces no está tan claro qué debe ser un paquete de líneas).
  • Podría dar una buena justificación intuitiva de por qué este mapa es una cosa natural y poderosa para mirar.
  • Podría prestarse a generalizaciones en distintas direcciones. Por ejemplo, un haz vectorial de rango n V con "suficientes secciones globales" (en algún sentido) debería determinar un mapa de X a $Hom_{\mathbb{C}}(\Gamma(V),\mathbb{C}^n)//GL(n)$ (donde éste es un cociente GIT).

Aparte. ¿Existe siquiera un buen nombre para esta construcción? El "mapa al espacio proyectivo determinado por un haz de líneas" es un poco prolijo.

21voto

Peter Eisentraut Puntos 3962

Esta es una de las preguntas más fundamentales posibles. De ahí que, aunque sea antigua y esté bien contestada, me atreva a añadir algo, con la esperanza de que parezca lo más transparente posible.

Me gustaría sugerir que la forma de entender esta construcción es mirarla al revés. Es decir, por su propia definición, el espacio proyectivo lleva un haz de líneas tautológico, cuyo haz dual tiene como secciones las coordenadas lineales. Estas secciones no tienen ceros comunes porque los hiperplanos no tienen puntos comunes. Por lo tanto, cualquier subvariedad del espacio proyectivo también tiene por restricción un haz de líneas cuyas secciones no tienen ceros comunes.

Además, un punto de un espacio proyectivo está determinado por el conjunto de hiperplanos que lo atraviesan, por lo que cualquier subvariedad está determinada por el haz de rectas restringido, ya que cada punto se recupera a partir del conjunto de secciones que desaparecen en él. Además, el propio espacio proyectivo es dual al espacio de hiperplanos y, por tanto, al espacio de secciones globales del haz. Por tanto, el haz sobre la subvariedad determina tanto el espacio proyectivo ambiental como la incrustación.

Ahora se ve inmediatamente que se puede imitar esto para dar un mapa, no necesariamente una incrustación, de cualquier variedad con un haz de líneas cuyas secciones no tienen ceros comunes, al espacio proyectivo dual de su espacio de secciones, enviando cada punto al subconjunto de sus secciones que desaparecen en ese punto, como dijo Anton.

En pocas palabras, dado que el espacio proyectivo tiene un haz de líneas cuyas secciones no tienen ceros comunes, y que los haces de líneas y las secciones se repliegan bajo los mapas, tener un haz de líneas de este tipo es una condición necesaria para un mapa al espacio proyectivo. Entonces uno se pregunta si también es suficiente, y lo es, como arriba.

También es fácil recuperar las propiedades que determinan si el mapa es una incrustación.

Visto así, esta construcción no tiene nada de misterioso: de hecho, es la propiedad que define el espacio proyectivo.

19voto

Jeff Atwood Puntos 31111

Intrínsecamente, el mapa de $X$ a $\mathbb P(\Gamma(L))$ (el espacio de hiperplanos en $\Gamma(L)$ ) viene dado por el envío de un punto $x\in X$ al hiperplano de las secciones que desaparecen en $x$ (se puede ver que se trata de un hiperplano observando que dadas dos secciones no proporcionales de $L$ siempre existe alguna combinación lineal no trivial de ellas que desaparece en $x$ ). Si todas las secciones de $L$ desaparecen en $x$ entonces el mapa no está definido en $x$ .

Esta construcción funciona sobre un terreno. Si desea trabajar sobre $\mathbb Z$ Si la geometría es un anillo graduado, deberías usar el lenguaje de Proj de un anillo graduado, pero entonces se hace más difícil imaginar la geometría.

El lugar adecuado para aprender sobre las diferentes versiones de paquetes de líneas que "tienen suficientes secciones" es Lazarsfeld's Positividad en geometría algebraica I . El lugar adecuado para aprender sobre generalizaciones a haces vectoriales es probablemente Positividad en geometría algebraica II .

18voto

Chad Cooper Puntos 131

Estoy seguro de que alguien responderá a esta pregunta, pero voy a intentar dar una respuesta más realista.

La cuestión es que el espacio proyectivo se define mediante un functor $\mathrm{Proj}$ . $\mathrm{Proj}$ tiene la agradable propiedad de que si $X$ es cualquier esquema, y $L$ es un haz de líneas, entonces existe un mapa canónico de $X_0$ a $\mathrm{Proj}(\oplus_{n\geq 0}\Gamma(X;L^{\otimes n}))$ donde $X_0$ es el subconjunto de $X$ donde al menos una sección de $L^{\otimes n}$ es no evanescente para algún n. Esto no utiliza ninguna elección o base algebraicamente cerrada; para cualquier sección de $L^{\otimes n}$ simplemente tomamos el mapa a la afinización del conjunto no evanescente y pegamos todos estos juntos.

Por lo tanto, si $L$ se genera globalmente, tenemos un mapa desde $X$ a $\mathrm{Proj}(\oplus_{n\geq 0}\Gamma(X;L^{\otimes n}))$ y ésta es la variedad proyectiva polarizada universal tal que el pullback de $\mathcal{O}(1)$ es $L$ . Ahora, sólo necesitamos encontrar mapas de esta variedad para $\mathbb{P}^n$ que dan el haz de líneas correcto.

Así que tenemos que pensar en lo que son los mapas entre dos Projs (preservando el haz de líneas), y eso es bastante simple, son mapas de anillos graduados en el otro sentido que golpean todos los ideales no irrelevantes.

Desde $\mathbb{P}^n$ es Proj de un anillo de polinomios, un mapa de un Proj a un espacio proyectivo que recoge $n$ secciones de grado 1 que generan un álgebra que golpea todos los ideales no irrelevantes, que es exactamente la descripción que diste.

12voto

Jeff Atwood Puntos 31111

Esta respuesta pretende ser (1) la respuesta apilada que Ben anticipó, y (2) una respuesta que aborde la generalización a haces de rango superior. Lo básico que supongo que sabes (o estás dispuesto a tomar como definición) es que un morfismo de $X$ a una pila cociente $[Y/G]$ equivale a los datos de un $G$ -torsor $P\to X$ y un $G$ -morfismo equivariante $P\to Y$ . Para $BG=[*/G]$ , son sólo los datos de un $G$ -torsor, ya que sólo hay una opción posible de mapa a un punto.

En primer lugar, la interpretación stacky. La elección de un haz de líneas $\mathcal L$ en un esquema $X$ es equivalente a un morfismo hacia la pila $\def\GG{\mathbb G} B\GG_m$ ; el $\GG_m$ -torsor es el complemento de la sección cero en el espacio total $\mathbb V(\mathcal L)$ . La elección de un haz de líneas junto con $n$ es equivalente a un morfismo $f:X\to\def\AA{\mathbb A} [\AA^n/\GG_m]$ ; el $\GG_m$ torsor es el complemento de la sección cero de $\mathcal L$ y el $n$ mapa a $\AA^n$ viene dada por $n$ funciones regulares que son los pullbacks de las secciones. La condición de que $f$ se pierde el único punto stacky de $[\AA^n/\GG_m]$ (es decir, el punto en el que el $\GG_m$ no actúa libremente)-y, por tanto, factores a través de la sub esquema $[(\AA^n\smallsetminus 0)/\GG_m]=\mathbb P^{n-1}$ -es precisamente la condición de que las secciones no desaparezcan todas en el mismo punto.

Ahora la generalización. Un rango $k$ haz vectorial $\def\E{\mathcal E} \E$ en un esquema $X$ es equivalente a un morfismo hacia la pila $BGL_k$ ; el $GL_k$ -torsor es la gavilla $\def\O{\mathcal O} Isom(\O^k,\E)$ . Un haz vectorial junto con una elección de $n$ es equivalente a un morfismo $f:X\to [(\AA^k)^n/GL_k]$ ; de nuevo, el $GL_k$ -torsor es $Isom(\O^k,\E)$ y el $k\cdot n$ las funciones regulares en el torsor vienen dadas por el pullback de la $n$ secciones de $\E$ y el hecho de que el pullback de $\E$ se identifica canónicamente con $\O^k$ . En relación con $(\AA^k)^n$ como el espacio de $k\times n$ matrices, el locus stacky de $[(\AA^k)^n/GL_k]$ (es decir, los puntos con estabilizadores no triviales) es el lugar donde el rango de la matriz es menor que $k$ . Así que la condición de que $f$ echa de menos el locus stacky es equivalente a la condición de que el $n$ secciones dadas abarcan la fibra de $\E$ en cualquier punto. El lugar no pegajoso es el subpunto abierto esquema $[$ { $k\times n$ matrices de rango $k$ } $/GL_k]$ el Grassmanniano de $k$ -aviones en $n$ -espacio, $Gr(k,n)$ . Por lo tanto, tenemos la siguiente interpretación.

Un haz vectorial $\E$ en un esquema $X$ junto con $n$ secciones $s_1,\dots, s_n$ que abarca cada fibra es equivalente a un morfismo $X\to Gr(k,n)$ .

Si no quieres ensuciar las cosas eligiendo las secciones, puedes sustituir $(\AA^k)^n$ por $Hom(\Gamma(\E),\mathbb C^k)$ en todas partes. El lugar no apilado es entonces el espacio de surjective mapas lineales. Entonces mirando a los núcleos, parece que naturalmente se obtiene $Gr(n-k,n)$ en lugar de (la isomórfica) $G(k,n)$ . Estoy seguro de que esto tiene algo que ver con una dualización implicada en la formación del espacio total de una gavilla localmente libre; todavía me confunde regularmente, así que dejaré este hilo suelto.

3voto

Arda Xi Puntos 1099

Los paquetes que tienen muchas secciones no tienen un nombre especial, pero su caso especial, ligeramente más útil, recibe el nombre de muy amplio paquetes.

Empiece por el principio. Los haces de líneas pueden definirse sobre cualquier campo $k$ pero tiene que ser el mismo que el campo de definición de tu múltiple original. ¿Por qué el campo no puede ser diferente? Por definición un línea es algo cuyo espacio total es localmente $A^1\times B$ para $B$ como base.

Ahora sí, lo que estás haciendo se puede escribir de manera más formal e invariable. Tomemos las secciones globales de un haz de líneas $L$ . Por definición, para un punto dado $x$ tenemos un emparejamiento lineal $H^0(L)\times \{x\} \to L_x$ la fibra de $L$ en $x$ (que es isomorfo a $k$ ). Si es distinto de cero, un mapa lineal a un espacio unidimensional (aunque el isomorfismo con $k$ no es canónica) por definición da una canónico punto en $\mathbb P(H^0(L))^*$ . Como señala Anton, este mapa toma un punto $x$ al hiperplano de secciones que desaparecen en $x$ (y falla si todas las secciones desaparecen en $x$ ).

Al variar $x$ obtendrá el mapa de $\mathbb P(H^0(L))^*$ un espacio proyectivo muy bien definido y canónico. Como la intuición diría, para que esto sea efectivo debería haber una forma de diferenciar dos puntos, es decir, si tengo puntos $x, y\in X$ entonces debería haber una sección $s$ tal que $s(x) = 0$ pero $s(y) \ne 0$ .


Es difícil construir secciones de un haz de líneas arbitrario, por lo que para algunos haces los emparejamientos anteriores serán cero en algunos puntos. Esto significará que el mapa anterior no estará definido.

Para muchos otros bundles, el mapa estará definido pero puede no tener buenas propiedades, por ejemplo, podría enviar toda la variedad a un único punto - no es muy útil, por lo que un bundle de línea se llama muy amplio si este mapa es una inmersión.

Ahora bien, si tomamos un esquema arbitrario (omitir si no está familiarizado con los esquemas), localmente tienen el siguiente aspecto $\mathrm{Spec}\,A$ . Ahora es fácil definir un haz de líneas: es algo que se mapea en el esquema y el mapa localmente se parece a $$\mathrm{Spec}\,A[t] \to \mathrm{Spec}\,A.$$ Se puede definir la cohomología como de costumbre, de modo que el espacio $\mathbb P(H^0(L))^*$ sigue siendo un buen objetivo. Es un poco más inusual hacer dibujos, pero se puede empezar tensando todo por $\mathbb F_q$ para adquirir la intuición.


Volver a curvas sobre campo $k$ . Allí la situación con las secciones es bastante fácil. Cada haz de líneas tiene la forma $O(D)$ para algunos divisor $D$ . A medida que añades más puntos a tu divisor, tienes garantizadas muchas secciones. Por lo tanto, hay muchos haces de líneas muy amplios.

Por último, un haz de líneas $L$ es amplia si algunas de sus potencias $L^{\otimes n}$ es muy amplio.

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