Demostrar o desaprobar: Grupo de orden $135$ debe ser abeliano

Question

La pregunta es la siguiente probar o desaprobar: todo grupo de orden $135$ debe ser abeliano.

Empecé así: $G = H \times\ K$ cuando $H$ es un subgrupo normal 5-silow y $K$ es un subgrupo 3-sylow normal (ambos normales desde la teoría sylow).

$H$ es cíclico y, por tanto, abeliano, pero ¿qué ocurre con $K$ ? si es cíclico entonces demuestra la afirmación. si no, no estoy seguro de cómo continuar...

No estoy seguro de cómo continuar a partir de aquí.

Answer 1

Basta con exhibir un grupo no abeliano de orden $135$ de la forma $C_5 \times K$ donde $K$ es un grupo no abeliano de orden $27$ .

El conjunto de todas las matrices de la forma $$\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}$$ con entradas en $\mathbb Z_3$ es un grupo multiplicativo no abeliano de orden $27$ llamado grupo de Heisenberg sobre $\Bbb{Z}_3$ .