¿Cuál es el anillo de funciones correcto para un espacio topológico?

Question

Hay un hecho que debería haber aprendido hace mucho tiempo, pero nunca lo hice; me recordó que no sabía la respuesta la excelente serie de entradas de Qiaochu, la más reciente de las cuales es éste .

Sea $X$ sea un espacio topológico. Se me ocurren al menos cuatro anillos de funciones continuas para adjuntar a $X$ :

1. $C(X)$ es el anillo de funciones continuas a $\mathbb R$ .
2. $C_b(X)$ es el anillo de funciones limitadas a $\mathbb R$ .
3. $C_0(X)$ es el anillo de funciones continuas que "desaparecen en el infinito" en el siguiente sentido: $f\in C_0(X)$ si para cada $\epsilon>0$ existe un subconjunto compacto $K \subseteq X$ tal que $\left|f(x)\right| < \epsilon$ cuando $x \not\in K$ .
4. El anillo $C_c(X)$ de funciones con soporte compacto.

La opción 2. no es muy buena. Por ejemplo, no puede distinguir entre un espacio y su compactación Stone-Cech. Mi pregunta es qué tipos de espacios distinguen los demás.

Por ejemplo, aprendí de esta pregunta que MaxSpec de $C(X)$ es la compactificación Stone-Cech de $X$ . Pero parece que $C(X)$ sabe un poco más, en que $C(X)$ tiene campos de residuos que no son $\mathbb R$ si $X$ ¿no es compacto?

Por otro lado, mi recuerdo de mi clase de álgebras C* (que fue hace unos años y a la que no asistí bien), es que para creo que espacios Hausdorff localmente compactos $C_0(X)$ conoce con precisión el espacio $X$ ?

Entonces, MOers, ¿cuáles son las declaraciones exactas? Y si creo que la noción correcta de "espacio" es "álgebra de observables", ¿hay buenos argumentos para preferir una de estas álgebras (u otra que no haya enumerado) a las demás?

Answer 1

Como algebrista de operadores, creo que el espacio de funciones continuas a $\mathbb{C}$ que desaparecen en el infinito es mi opción preferida. Déjenme decirles por qué.

Una de las ideas básicas de la topología/geometría no conmutativa (y probablemente de la geometría algebraica, pero no sé mucho de eso) es que podemos intercambiar el espacio por álgebras de funciones sobre ese espacio. Esto lo permite la Transformada de Gelfand . El espectro de un conmutativo $C^\ast$ -álgebra es el espacio de los caracteres, es decir, $\ast$ -homomorfismos de álgebra a $\mathbb{C}$ .

• Si $X$ es Hausdorff compacto, entonces el espectro de $C(X)$ es $X$ .
• Si $X$ es localmente compacta Hausdorff, pero no compacta, el espectro de la no-unital $C^\ast$ -álgebra $C_0(X)$ es $X$ . El espectro de la unitalización de $C_0(X)$ ( $C_0(X)\oplus \mathbb{C}$ ) es la compactificación en un punto de $X$ . El espectro del unital $C^\ast$ -álgebra $C_b(X)$ es $\beta X$ la compactación Stone-Cech de $X$ . Cabe señalar que $C_b(X)$ es también el álgebra multiplicadora de $C_0(X)$ .
• Si $X$ es compacta, pero no Hausdorff, entonces $C(X)$ corresponde a algún tipo de "Hausdorffización" de $X$ .

En realidad $C(X)$ y $C_0(X)$ son los mismo si $X$ es compacto, pero quieres denotarlo $C(X)$ para enfatizar el hecho de que el álgebra ya es unital. De lo contrario, cuando se añade una unidad, se toma la compactificación de un punto de un espacio compacto que añade un punto extra, que no es lo que se quiere.

Ahora supongamos que tienes alguna estructura adicional, como $X$ es una variedad compacta. Entonces es probable que desee el $C^\infty$ -funciones en $X$ . Sin embargo, pueden recuperarse de $C(X)$ como aquellos operadores cuyo conmutador iterado con el operador de Dirac está acotado. Esto inspiró la noción de triple espectral .

EDIT: En mi prisa por responder a esta pregunta, cometí algunos errores en la respuesta anterior, como señaló @Jonas.

Answer 2

Trabajo con variedades de dimensiones infinitas, así que desconfío mucho de todo lo que requiera algún tipo de condición de compacidad. La mayoría de las veces es demasiado restrictivo.

Consideremos un espacio simple realmente bonito: el coproducto de un número contablemente infinito de líneas, $\sum_{\mathbb{N}} \mathbb{R}$ (coproducto tomado en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos). Esto tiene la propiedad de que cualquier subconjunto compacto está contenido en un subespacio finito. Sin embargo, cualquier vecindad del origen tiene que ser absorbente (la unión de sus múltiplos escalares es todo el espacio), por lo que no hay funciones continuas distintas de cero con soporte compacto. Eso defenestra la opción 4.

Las funciones especialmente sencillas en un espacio vectorial de dimensión infinita son las cilindro funciones. Éstas son importantes en la teoría de la medida en dichos espacios. Una función cilíndrica tiene la propiedad de ser factor a través de una proyección a un espacio vectorial de dimensión finita. Estas funciones pueden ser continuas y estar acotadas, pero (aparte de la función cero) nunca desaparecen en el infinito y nunca tienen soporte compacto. Así pues, la opción 3 se une a la 4 en el parterre.

En cuanto a la opción 2, no tengo ningún reparo en particular, salvo que no es estable bajo particiones de la unidad. Suponiendo que tengo tal, entonces cualquier función continua se puede escribir como una suma de funciones acotadas por lo que al hacer construcciones estándar p-de-1 tengo que asumir que mi familia de partida es uniformemente acotada (si ese es el término correcto).

Bueno, acabo de recordar una duda sobre la opción 2: si subo la escala de diferenciabilidad, cada vez es más difícil justificar los límites globales de las derivadas. Recuerdo que John Roe me habló de un resultado que había demostrado que tenía que ver con la limitación de todas las derivadas de una función suave de alguna manera. No recuerdo las condiciones exactas, pero la conclusión era que las únicas funciones que las cumplían eran trigonométricas.

Como ya han dicho otros, si realmente sólo te interesan los espacios (localmente) compactos, entonces las otras opciones tienen sentido (se supone que son funcionalmente Hausdorff -puntos separados por funciones-). Pero entonces el título de tu pregunta debería haber sido: "¿Cuál es el anillo de funciones correcto para un Espacio de Hausdorff localmente compacto ?".

Answer 3

Si se puede extraer un hecho central de las respuestas anteriores y de otras, es que si se quiere una buena teoría de la dualidad para álgebras de funciones continuas, hay que pasar de los espacios o álgebras de Banach. Este hecho se reconoció hace al menos 50 años, y se descubrió una generalización adecuada: la llamada topología estricta del espacio de funciones continuas acotadas en un espacio, digamos, completamente regular. A pesar de la eminencia de sus descubridores y defensores (Beurling, Herz, Buck), parece haber caído en el olvido. Se puede encontrar un lúcido argumento en su favor en el artículo de Transactions de 1960 de Herz, "The spectral theory of bounded functions" (como sugiere el título, la motivación para su introducción procede del Análisis Armónico). La versión original utilizaba seminormas ponderadas y era válida para espacios localmente compactos. Posteriormente, varios autores la extendieron a espacios completamente regulares. La topología puede definirse sucintamente como la más fina localmente convexa que coincide con la convergencia compacta en la bola unitaria de $C^b(X)$ . Se trata de un espacio completo localmente convexo, cuyos conjuntos compactos y secuencias convergentes pueden caracterizarse de forma sencilla (estas últimas son las secuencias uniformemente acotadas que convergen uniformemente en los compactos). Su dual es el espacio de medidas de Radon acotadas sobre $X$ la versión natural del teorema de Stone-Weierstra\ss se cumple para él, su espectro es naturalmente identificable con $X$ y así se tiene una versión de la teoría de Gelfand-Naimark. También se pueden caracterizar las propiedades topológicas de $X$ en términos de los de $C^b(X)$ Todos en principio, muchos en la práctica. Es importante destacar que se puede caracterizar la compacidad local de $X$ en términos de la propiedad del álgebra $C^b(X)$ . Se puede encontrar una descripción completa en el libro "Saks Spaces and Applications to Functional Analysis".

Answer 4

He pensado dejar constancia de los recelos de mi comentario anterior como una "respuesta" real. Creo que hay que aclarar qué clase de espacios topológicos se están considerando. Como he dicho más arriba, incluso si se empieza por restringir la atención a los espacios de Hausdorff, la clase LCHff es atípicamente agradable (y el caso CHff extraordinariamente atípico, como podrían atestiguar los categoristas de paso). Decir que los espacios de funciones son duales de los espacios topológicos es una gran máxima, pero, como todas las máximas, hay que manejarla con un mínimo de cuidado y no siempre tan ampliamente como los vendedores quieren que se haga...

En este tipo de generalidades, mi primer instinto sería ver qué dice el libro de Gillman y Jerison "Anillos de funciones continuas".

Como han dicho varias personas más arriba, cuando X no es compacto hay que decidir hasta qué punto interesa el "comportamiento en el infinito", y elegir el álgebra de funciones más adecuada para reflejarlo. Si realmente no te interesa mucho, entonces $C_0(X)$ parece natural aunque, como he dicho antes, esto sólo podría ser bueno para LCHff X, y hay un montón de espacios topológicos bastante interesantes que no son localmente compactos...

Sospecho que cuando $X$ es Hausdorff, $\sigma$ -compacto pero no compacto, entonces $C(X)$ debería tener una estructura natural de álgebra de Frechet, y podría haber algún trabajo realizado sobre esta clase de ejemplos.

Por cierto, si $X$ es un espacio métrico, entonces hay un caso en el que uno debería buscar en el álgebra de funciones de Lipschitz en X (Nik Weaver ha defendido este punto de vista en el pasado). Sin embargo, como no se trata de un $C^*$ -álgebra, puede que no cumpla las normas del Análisis Funcional Adecuado y quizá deba ser relegado al basurero de la historia (o no, según se mire).