Una función $y=f(x)$ cumple la condición $f'(x)\sin x+f(x)\cos x=1,f(x)$ estando acotada cuando $x\to 0$ .si $I=\int_{0}^{\pi/2}f(x)dx$

Question

Una función $y=f(x)$ cumple la condición $f'(x)\sin x+f(x)\cos x=1,f(x)$ estando acotada cuando $x\to 0$ .si $I=\int_{0}^{\pi/2}f(x)dx,$ entonces

$(A)\frac{\pi}{2}<I<\frac{\pi^2}{4}\hspace{1cm}(B)\frac{\pi}{4}<I<\frac{\pi^2}{2}\hspace{1cm}(C)1<I<\frac{\pi}{2}\hspace{1cm}(D)0<I<1$

A partir de la ecuación dada $f'(x)\sin x+f(x)\cos x=1,f(x)$ no pude probar si $f(x)$ es una función monotónicamente creciente o monotónicamente decreciente, por lo que no pude encontrar los límites superior e inferior de $I$ Por favor, sugiérame algún método para resolverlo.

Answer 1

Como continuación a la respuesta de G-man, fíjate en que: $$ I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{x}{\sin x}\,dx = 2G, \tag{1}$$ con $G$ en Constante catalana . $(1)$ se deduce de la serie seno de Fourier de la función identidad: $$\forall x\in(-\pi,\pi),\qquad x = \sum_{n\geq 1}\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\,\sin(nx)\tag{2} $$ de la cual: $$\begin{eqnarray*} I = \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(2nx)}{\sin(x)}\,dx &=&\; 2\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{(-1)^{j+1}}{2j-1}\\&=&\;4\int_{0}^{1}\frac{\text{arctanh}(x)}{1+x^2}\,dx\\&=&\;2\int_{1}^{+\infty}\frac{\log(y)}{1+y^2}\,dy\\&=&\;2\int_{0}^{1}\frac{-\log x}{1+x^2}\,dx\\&=&\;2\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^2}\\&=&\,2G.\tag{3}\end{eqnarray*}$$ La representación de la última serie da claramente $\frac{16}{9}<I<2$ por lo que ambos $(A)$ y $(B)$ son correctas.

Como alternativa, $$ I \geq \int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{1-\frac{x^2}{\pi^2}}=\pi\cdot\text{arctanh}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\log(3)>\frac{\pi}{2}\tag{4}$$ y: $$ I \leq \int_{0}^{\pi/2}\frac{x}{\frac{2}{\pi}\,x}\,dx = \frac{\pi^2}{4}.\tag{5}$$

Answer 2

De la pista que di en el comentario se puede decir que la función es $f(x)=\frac{x}{\sin x}$ . Los valores máximo y mínimo que $f(x)$ en el intervalo dado son $\pi/2$ y $1$ respectivamente. ¿Ahora puedes aplicar esto para obtener los límites superior e inferior de la integral?

EDITAR : Como ha señalado Hagen, la ecuación diferencial nos da la forma general $f(x)=\dfrac{x+c}{\sin x}$ . Pero la condición de delimitación exige que $c=0$ así que eso es todo.