Álgebra tensorial afín: ¿Qué es una transformación propia?

Question

Estoy repasando el libro "Tensores, formas diferenciales y principios variacionales" de David Lovelock y Hanno Rund (por mi cuenta, por diversión) y me he atascado en el problema 2.9 página 51.

Imagen del problema

Las euqaciones de referencia son

2.11 $$\bar{A}_j=a_{jh}A_h$$ 2.25 $$\bar{C}_{jk}=a_{jh}a_{kl}C_{hl}$$

Cuando se entiende que un índice que aparece dos veces debe sumarse (convención de la suma)

Mi primera pregunta es: ¿qué significa "transformación adecuada"?

I piense en significa

$$\det(a_{jk})=+1$$

$$\delta_{jk}=a_{jh}a_{kh}$$

¿Es correcto?

Mi segunda pregunta es: ¿cómo lo utilizo?

Si calculo $\bar{C}_j$ y $\bar{C}_{kl}$ componente sabio usando 2.11 y 2.25 y compararlos consigo 9 relaciones que necesitan ser fullfilled, uno para cada entrada en $a_{jh}$ . Por ejemplo, para $C_1$

$$a_{11}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}$$ $$a_{12}=a_{23}a_{31}-a_{33}a_{21}$$ $$a_{13}=a_{32}a_{21}-a_{31}a_{22}$$

Y efectivamente, si compruebo estas relaciones para un par de transformaciones ortogonales parecen válidas. Pero, ¿cómo demuestro esto utilizando las relaciones de una transformación propia? ¿Es esto lo que se supone que tengo que demostrar?

Answer 1

Por si a alguien le interesa o puede aportar algo, este es mi análisis. Supongo que ya puedo cerrar esta pregunta/hilo.

$C_j=\epsilon_{jhk}A_hB_k$

El símbolo Levi-Civita, $\epsilon_{jhk}$ es un tensor en transformaciones ortogonales adecuadas .

$$\overline{\epsilon_{jhk}}=a_{ju}a_{hv}a_{kw}\epsilon_{uvw}=\det(a)\epsilon_{jhk}$$

Desde $\det(a)=+1$ (transformación adecuada) $\overline{\epsilon_{jhk}}=\epsilon_{jhk}$ tenemos

$$\overline{C_j}=\epsilon_{jhk}a_{hu}A_ua_{kv}B_v$$

Usando la propiedad de transformación de Levi-Civitia una vez más (esta vez como una identidad para que sea más fácil de manejar A y B):

$$\overline{C_j}=a_{ju}a_{hv}a_{kw}\epsilon_{uvw}a_{hu}a_{kv}A_uB_v$$

Ahora recordamos que la transformación es ortogonal, por lo tanto $a_{ju}a_{hu}=\delta_{jh}$ etc:

$$\overline{C_j}=\delta_{jh}\delta_{hk}a_{kw}\epsilon_{uvw}A_uB_v$$

$$\overline{C_j}=a_{jw}\epsilon_{uvw}A_uB_v$$

Ampliando los valores posibles ( $\epsilon_{uvw}\neq 0$ ) de u,v,w

$$\overline{C_j}=a_{j1}(A_2B_3-A_3B_2)+a_{j2}(A_3B_1-A_1B_3)+a_{j3}(A_1B_2-A_2B_1)$$

Por último, puesto que $C_1=C_{23}=A_2B_3-A_3B_2$ y lo mismo para $C_2$ , $C_3$

$$\overline{C_j}=a_{jh}C_h$$