Los períodos y L-valores

Question

Un famoso teorema de Euler es que Zeta(2n) es un número racional veces pi^(2n). El trabajo de Kummer, Herbrand, Ribet y otros muestra que el racional multiplicador tiene el número teórico de la significación.

Para obtener más general L-funciones de los motivos, la filosofía ha surgido (Deligne, Beilinson, Bloch, Kato, etc.) que (en términos vagos) sus valores en ciertos enteros algebraicos son múltiplos de trascendental números y que el particular algebraica de números que un múltiplo de la trascendental número contiene información sobre el motivo de que el L-función está conectada.

Pero a (distinto de cero) algebraicas múltiples de un trascendental número nuevo es trascendental, por lo que cualquier número real no tiene un lugar bien definido de descomposición, como producto de una algebraica de números y trascendental número.

Aún así, debido a que los teoremas de Kummer, et. al. uno sospecha que los poderes de la pi son (al menos) el "derecho" de "trascendental" de la L-valores de la función a estar mirando. Tal vez uno realmente debería estar mirando poderes de 2pi? Pero parece claro que uno no debe estar buscando en los poderes de 691*pi porque de lo contrario la declaración de Kummer del criterio de la regularidad de un primer tendría una cláusula excepcional que implican el primer 691.

Hay un conceptualmente motivado medio de la elección de los "a la derecha" "trascendental parte" de un valor especial de una L-función?

Presumiblemente la razón por la que Euler expresó su teorema en términos de pi es debido a que pi era un símbolo comúnmente utilizado. (He escuchado a personas que argumentan que 2 pi es conceptualmente más primitivo y que una etiqueta debería haber sido hecho por la cantidad de 2 pi en lugar de para pi y no estoy seguro de lo que pienso acerca de esto). En cualquier caso, no debe ser un a priori significa fijar la correspondiente trascendental número hacia abajo "en la nariz" (no racional/algebraicas múltiples).

He oído que Beilinson la conjetura de dar el trascendental número sólo hasta un racional múltiples y que la de Bloch-Kato conjetura de los pines de abajo el número. Pero no sé lo suficiente como para comprender el enunciado de la conjetura y por lo tanto estoy en el presente, mal equipadas para obtener conocimiento a partir de la lectura el papel de Bloch y Kato. Hay más consideraciones elementales que dan una idea de cómo seleccionar un determinado trascendental número de el conjunto de todos los de su algebraicas múltiplos?

Answer 1

El ingrediente activo en el Beilinson y Bloch--Kato conjeturas es un motivo (${\mathbb Q}$, decir). Si tomamos la integral cohomology de este motivo (mod de torsión, por ejemplo), podemos obtener la integral de celosía. Si tenemos algún tipo de Nerón modelo, y tomar la algebraicas de Rham cohomology de esto, tenemos una segunda integral de la celosía. Ahora calcular el determinante de la vinculación de uno de estos en el otro, tenemos un trascendental número bien definido de hasta una unidad en ${\mathbb Z}^{\times}$, es decir, un signo.

Esto debe darle una idea de cómo se puede conectar un canónica período de tiempo a un motivo, y es el la idea básica subyacente a la construcción de los períodos de motivos. (Ya que uno no tiene Nerón modelos en general, esta idea es apenas heurística como está, pero creo que da la idea de derecho. Si usted lo aplica a ${\mathbb G}_m$, debe recuperarse el período de $2\pi i$.)

EDIT: debo señalar que la realidad es sólo una heurística, explicando cómo hay dos maneras de llegar integral de las estructuras en cohomology: en singular cohomology, uno solo lleva integral de los ciclos (es decir, "true" los ciclos en el motivo, sin gracioso los coeficientes), y de de Rham cohomology, una toma algebraicas formas diferenciales que están definidas sobre los números enteros, como el de Nerón diferencial $dx/2y$ sobre una curva elíptica con un mínimo de Weierstrass ecuación de $y^2 = f(x)$.

Para conseguir realmente los períodos correctos para un determinado $L$-función, uno tiene que hacer un poco más la manipulación que he indicado; por ejemplo, para una curva elíptica sobre ${\mathbb Q}$, uno de integrar el Nerón diferencial sobre la base de la verdadera integral de los ciclos de (es decir, los ciclos que se fija por la acción del complejo de conjugación en $E({\mathbb C})$; estos son rango del subgrupo de la cohomoloy de $E({\mathbb C})$). Pero espero que lo Yo escribí arriba da una cierta intuición de lo que está pasando.