Demostrando que $\{\cos n\mid n\in\mathbb N\}$ es denso en $[-1,1]$

Question

Intento demostrar que $\cos n$ , $n\in \mathbb{N}$ es denso en $[-1,1]$ y me gustaría saber si mi respuesta es lo suficientemente rigurosa y correcta.

Dado cualquier $x,y \in [-1,1]$ con $y>x$ hay $a,b \in [0,\pi)$ con $a>b$ tal que $\cos a = x$ y $\cos b = y$ ya que la función coseno es decreciente en $[0,\pi)$ .
Utilizando el hecho de que $\{m+n\pi\mid m,n\in\mathbb{Z}\}$ es denso en $\mathbb{R}$ existe $m+2n\pi$ $\in(b,a)$ . Por lo tanto, existe un $\cos(m+2n\pi)=\cos (m)\in (y,x) $ con $m\in \mathbb{N}$ .

¿Es correcto?

Answer 1

Los argumentos no existen en el vacío a la espera de que se determine si son "correctos" o no. En este caso, el comentario de HCP16 es apropiado: Si usted está dispuesto a asumir que $\{m + n\pi\}_{m,n \in \mathbb{Z}}$ es denso en $\mathbb{R}$ entonces una prueba como esta debería funcionar fácilmente.

Tomando al pie de la letra lo que has escrito, una pregunta que me viene a la cabeza es: ¿Cómo se pasa de $m + n \pi$ siendo denso a $m + 2n\pi \in (b,a)$ ?

Answer 2

Como ya han dicho otros, la calidad de tu argumento depende en gran medida de lo que des por sentado que ya se ha demostrado, pero hay un par de lagunas auténticamente menores. Si estás dispuesto a suponer que la función coseno es continua y decreciente en $[0,\pi]$ puede apelar al teorema del valor intermedio para justificar la existencia de su $a$ y $b$ pero es necesario utilizar el intervalo cerrado $[0,\pi]$ no $[0,\pi)$ : de lo contrario no se puede manejar la posibilidad de que $x=-1$ .

Si está dispuesto a asumir que $\{m+n\alpha:m,n\in\Bbb Z\}$ es denso en $\Bbb R$ cuando $\alpha$ es irracional, entonces ciertamente $\{m+n\pi:m,n\in\Bbb Z\}$ es denso en $\Bbb R$ pero eso no justifica obviamente su conclusión de que hay $m,n\in\Bbb Z$ tal que $m+2n\pi\in(b,a)$ . Sin embargo, $2\pi$ también es irracional, por lo que $\{m+2n\pi:m,n\in\Bbb Z\}$ también es denso en $\Bbb R$ y podemos concluir que hay $m,n\in\Bbb R$ tal que $m+2n\pi\in(b,a)$ . (Y ahora veo que has corregido ese descuido en los comentarios, aunque todavía no en la pregunta en sí).

Sin embargo, el hecho de que $\{m+n\alpha:m,n\in\Bbb Z\}$ es denso en $\Bbb R$ cuando $\alpha$ es irracional es realmente el corazón del argumento y su parte más difícil 1 el resto es comparativamente trivial, suponiendo que ya se disponga del teorema del valor intermedio y de los datos básicos sobre la función coseno (y me parece una suposición razonable). Por tanto, esperaría que una demostración del resultado deseado incluyera (o, en un libro de texto, hiciera referencia directa a) una demostración de este hecho.

En realidad puede ser bastante corto: en esta respuesta Utilicé el principio del encasillamiento para dar una prueba corta y fácil de que $\{n\alpha\bmod 1:n\in\Bbb Z\}$ es denso en $[0,1)$ si $\alpha$ es irracional, donde $x\bmod 1=x-\lfloor x\rfloor$ es la parte fraccionaria de $x$ y de ello se deduce inmediatamente que $\{m+n\alpha:m,n\in\Bbb Z\}$ es denso en $\Bbb R$ . En esta respuesta Señalo que el mismo argumento funciona si sustituimos $\Bbb Z$ por $\Bbb Z^+$ y mostrar cómo extender el argumento para demostrar que de hecho $\{m+n\alpha:m,n\in\Bbb Z^+\}$ es denso en $\Bbb R$ .

1 La prueba de que $\pi$ es irracional es en realidad más difícil, pero en la mayoría de los contextos ese hecho se califica como conocido aunque no se haya exhibido ninguna prueba.