Un bol contiene 16 fichas, de las cuales 6 son rojas, 7 blancas y 3 azules. Si se toman cuatro fichas al azar y sin reemplazamiento, hallar la probabilidad de que haya al menos 1 ficha de cada color.
¿Puede alguien darme una pista?
Gracias.
Respuestas
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Brian Tung
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I piense en barak manos cuenta doblemente algunas selecciones. Siguiendo el consejo de Marconius, tenemos
\begin{align} \binom{6}{2}(7)(3) + (6)\binom{7}{2}(3) + (6)(7)\binom{3}{2} & = (15)(7)(3) + (6)(21)(3) + (6)(7)(3) \\ & = 315 + 378 + 126 = 819 \end{align}
diferentes formas de seleccionar las fichas para satisfacer la condición. Tenga en cuenta que existen
$$ \binom{6}{4} + \binom{7}{4} = 15 + 35 = 50 $$
diferentes maneras de seleccionar sólo fichas rojas o sólo fichas blancas, y esa es la diferencia entre esta respuesta y la de barak.
Como en la respuesta de barak, hay
$$ \binom{16}{4} = 1820 $$
diferentes formas de seleccionar $4$ de $16$ fichas, por lo que la probabilidad deseada es
$$ P = \frac{819}{1820} = \frac{9}{20} $$
Confirmando Brian Tung respuesta.
Tenemos 16 fichas; estas son 6 rojas, 7 blancas, 3 azules
- Existen $\dbinom{16}{4}$ formas de elegir 4 fichas cualesquiera.
De estos hay que restar los que no son al menos uno de cada tipo.
-
Existen $\dbinom{10}{4}$ formas de elegir 4 fichas no rojas.
-
Existen $\dbinom{9}{4}$ formas de elegir 4 fichas no blancas.
-
Existen $\dbinom{13}{4}$ formas de elegir 4 fichas no azules.
A evitar el recuento excesivo tenemos que volver a añadir:
-
Existen $\dbinom{6}{4}$ formas de elegir 4 fichas sólo-rojas
-
Existen $\dbinom{7}{4}$ formas de elegir 4 fichas sólo blancas
-
Existen $0$ formas de elegir 4 fichas sólo azules (hay muy pocas).
El principio de inclusión y exclusión (P.I.E.) dice entonces:
- Existen $\left[{\dbinom{16}{4}-\left[\dbinom{10}{4}+\dbinom{9}{4}+\dbinom{13}{4}\right]+\left[\dbinom{6}{4}+\dbinom{7}{4}\right]}\right]$ formas de elegir 4 fichas con al menos una de cada color.
Divídelo por $\dbinom{16}{4}$ para obtener la probabilidad, $\tfrac 9{20}$ .
Alternativamente (y más fácil): como para tener al menos 1 de cada color, necesitamos elegir 2 fichas de un color y 1 de cada uno de los otros dos, entonces la probabilidad es:
$$\dfrac{\dbinom{7}{2}\dbinom{6}{1}\dbinom{3}{1}+\dbinom{7}{1}\dbinom{6}{2}\dbinom{3}{1}+\dbinom{7}{1}\dbinom{6}{1}\dbinom{3}{2} }{ \dbinom{16}{4} } = \dfrac 9{20}$$
$\Box$
