La existencia de una curva elíptica con una representación de Galois específica inducida por un carácter

Question

En la obra de Kevin Buzzard artículo de encuesta sobre modularidad potencial Buzzard escribe:

Digamos que tenemos una elíptica elíptica $E$ sobre un eld totalmente real $F$ , y queremos demostrar que $E$ es potencialmente modular (es decir, que $E$ se hace modular sobre una extensión nula eld $F^{}$ de $F$ , también asumido totalmente real). He aquí una estrategia. Digamos $p$ es un primo grande tal que $E[p]$ es irreducible. Escribamos un impar aleatorio $2$ -dimensional mod $$ Galois representation $ \: > Gal(\overline{F}/F) GL(2,\mathbf{F}_ ) $ which is induced from a character; because this representation is induced it is known to be modular. Now let us consider the moduli space parametrising elliptic curves $ A$ equipado con

1. Un isomorfismo $A[p] \cong E[p] $
2. Un isomorfismo $A[]\cong _$

Este problema de módulos será representado por alguna curva modular cuyos componentes conectados serán giros de $X(p)$ y, por tanto, si $p$ y $$ are large, will typically have large genus. However, such a curve may well still have lots of rational points, as long as I am allowed to look for such things over an arbitrary nite extension $ F^{} $ of $ ¡F$ !

No es inmediatamente obvio para mí que hay una curva elíptica $A$ sobre algunos $F^{}$ satisfacer sólo la segunda condición (por no hablar de satisfacer ambas simultáneamente). ¿Existe una explicación sencilla de por qué debe existir tal $A$ ? ¿Quería decir el profesor Buzzard "considerar el conjunto de A tal que $A[]\cong _$ para algunos representación inducida por un personaje" (por oposición a uno en particular)?

Answer 1

En este contexto, si $\rho$ es un mod $\ell$ representación de $Gal(\overline{F} / F)$ et $A$ es una curva elíptica sobre una extensión $F' / F$ entonces la declaración " $A[\ell] \cong \rho$ "necesita un poco de interpretación, porque los dos lados son representaciones de cosas diferentes: $A[\ell]$ es un mod $\ell$ representación del subgrupo $Gal(\overline{F} / F') \subset Gal(\overline{F} / F)$ . Así pues, la afirmación debe leerse como " $A[\ell]$ es isomorfo como $Gal(\overline{F} / F')$ -representación ante el restricción de $\rho$ ". Ahora, el mayor $F'$ es, más débil se vuelve esta condición: en particular, si tomamos cualquier curva elíptica $A$ en $F$ y definir $F'$ sea la extensión de $F$ generado por el $\ell$ -puntos de torsión de $A$ y el campo de división de $\rho$ entonces la afirmación es automática (ambos lados son la representación trivial).

(Es un ejemplo un poco estúpido, pero quizá ahora puedas creer que también existen ejemplos no estúpidos).