¿Suma de módulos inyectivos, producto de módulos proyectivos?

Question

1. ¿Bajo qué supuestos en un anillo no conmutativo R una suma directa contable de módulos R inyectivos de izquierda tiene necesariamente una dimensión inyectiva finita?

2. Análogamente, ¿bajo qué supuestos sobre R un producto contable de módulos R de izquierda proyectivos tiene necesariamente una dimensión proyectiva finita?

Estas cuestiones se plantean en el estudio de las categorías coderivadas y contraderivadas de (CDG-)módulos o, si se desea, de las categorías de homotopía de complejos no acotados de módulos inyectivos o proyectivos.

Hay algunas condiciones suficientes obvias y otras menos obvias. Tanto para #1 como para #2, es claramente suficiente que R tenga una dimensión homológica izquierda finita.

Más interesante aún, en ambos casos basta con que R sea Gorenstein izquierda, es decir, tal que las clases de módulos R izquierdos de dimensión proyectiva finita y módulos R izquierdos de dimensión inyectiva finita coincidan.

Para #1, también basta con que R sea noetheriana izquierda. Para #2, basta con que R sea coherente derecho y tal que cualquier módulo plano izquierdo tenga una dimensión proyectiva finita.

¿Alguna otra condición suficiente?

Answer 1

Para #1, basta con que $R$ sea coherente izquierda y tal que cualquier fp-inyectiva izquierda $R$ -tiene dimensión inyectiva finita. En particular, estas condiciones se cumplen cuando $R$ es coherente a la izquierda y todo ideal a la izquierda en $R$ tiene un conjunto de generadores de cardinalidad no superior a $\aleph_n$ para algún número entero no negativo $n$ (por ejemplo, un conjunto contable de generadores). Véase la sección 2 de https://arxiv.org/abs/1504.00700 .