Importancia de los valores propios

Question

Sé cómo encontrar los valores propios y el vector propio, pero no sé qué hacer con eso.

¿Para qué sirve? ¿Alguien puede explicarme eso?

Answer 1

Una aplicación práctica que se me ocurre es el análisis de componentes principales (ACP). Se utiliza mucho en el reconocimiento de patrones, por ejemplo, en el reconocimiento de caras. Para ello se utiliza la matriz de covarianza de los datos observados. Sea $C$ ser nuestro $N \times N$ matriz de covarianza, entonces \begin {align} C= \sum_ {i}^{N} \lambda_iv_iv_i ^H \end {align} es la descomposición eigen. Aquí $\lambda_i$ son los valores propios y $v_i$ son los vectores propios. Para una matriz de covarianzas, $\lambda_i$ son siempre no negativos. Digamos que $\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_N$ están en orden decreciente. Por lo tanto, en ese sentido, $\lambda_1v_1v_1^H$ es el componente principal en la suma anterior y, por tanto, desempeña un papel importante en la determinación de los datos observados. Esta interpretación será más clara, una vez que se profundice en la aplicación. Mi área es el procesamiento de señales, y los veo a la izquierda, a la derecha y al centro en todo mi camino. ¡¡Feliz aprendizaje!!

Answer 2

Son muchas las razones por las que los valores propios son tan importantes en matemáticas. Aquí hay un ejemplo muy corto y extremadamente incompleto lista de las principales aplicaciones que encontré en mi camino y que me vienen ahora a la mente:

Aplicaciones teóricas:

1. Los valores propios del jacobiano de un campo vectorial en un punto dado determinan la la geometría local del flujo y la estabilidad de ese punto;
2. Un método iterativo $\mathbf{y}_{k+1} = \mathbf{A} \mathbf{y}_k$ es convergente si el radio espectral $\rho(\mathbf{A})$ (el valor absoluto máximo de los valores propios de $\mathbf{A}$ ) es < 1.

Aplicaciones prácticas:

1. El orden en que aparecen los resultados de la búsqueda en Google se determina calculando un vector propio (véase PageRank ).
2. Puede reconocer automáticamente los rostros calculando los vectores propios de las imágenes (véase Eigenfaces ).

Y también hay otro tipo de problemas de valores propios, más difíciles de resolver, por ejemplo Generalizado y No lineal Problemas de valores propios, con aplicaciones aún más interesantes.

Espero haberte dado algunas aportaciones interesantes :)

Answer 3

Construcción de puentes colgantes... Cada uno de estos puentes tiene una "frecuencia natural" y cuando el sistema físico que modela el puente se linealiza, esta frecuencia corresponde al valor propio de menor magnitud. Los ingenieros quieren que esta frecuencia esté razonablemente alejada de las frecuencias que se producen de forma natural, como las condiciones locales del viento. Cuando no es así, es decir, cuando la frecuencia natural del puente se corresponde con las frecuencias de las olas inducidas por el entorno, las frecuencias se vuelven (casi) aditivas, en contraposición al estado deseado de las frecuencias (casi) anuladas. El resultado es, por ejemplo, lo que ocurrió en el derrumbe del puente Tacoma Narrows en 1940.

Answer 4

En lo que a mí respecta, lo mejor de todo es que hay muchos casos canónicos en los que los vectores/funciones/estados propios forman una base completa para el espacio en el que se trabaja. Por ejemplo, en el caso de la mecánica cuántica, los "vectores propios" de los operadores que corresponden a cantidades observables, como la energía, la posición, etc., forman una base completa para el espacio de todos los estados posibles del sistema que se está analizando. Es decir, cualquier estado que se desee puede escribirse como una combinación lineal de estos "vectores propios". Naturalmente, esto facilita mucho la resolución de los problemas, ya que ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar los coeficientes de esta combinación lineal (para lo que existe una fórmula muy clara).

Muchas técnicas matemáticas, como el análisis de Fourier, se basan en el mismo principio. También hay una técnica para resolver ciertos tipos de EDOs lineales que explota el hecho de que los "vectores propios" de ciertas cosas para una base completa (Teoría de Sturm-Liouville), básicamente lo que se hace es encontrar los "vectores propios" de la ecuación diferencial (estrictamente, queremos las funciones propias del operador diferencial, por ejemplo $e^{kx}$ es una función propia de $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ con valor propio $k$ ) y entonces podemos escribir la solución en términos de estos "vectores propios" simplemente calculando los coeficientes en la combinación lineal (¡también hay una fórmula para esto!).