Cómo mostrar el radio espectral de abajo $2\times 2$ es mayor que uno.

Question

Dada una matriz diagonal $D$ (con suma de elementos diagonales negativos), una fila-estocástica $W_r$ (vector propio derecho $\mathbf{1}$ con valor propio 1), y columna-estocástica $W_c$ (vector propio izquierdo $\mathbf{1}$ con valor propio 1), ¿cómo demostrar que por debajo de matarix tiene radio espectral mayor que uno? ( $W_r$ y $W_c$ son irreducibles) $$ \begin{bmatrix} W_r-D & - I \\ (W_c-I)D &W_c \end{bmatrix}. $$ Estoy bastante seguro de que es cierto, pero no puedo demostrarlo. También he hecho muchas simulaciones que han confirmado mis conjeturas.

Agradezco mucho cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

No estoy seguro de si esto es suficiente para usted, pero es fácil ver que el radio espectral es mayor que o igual a uno, y todo lo que necesitamos es que $W_r$ es fila-estocástica. La matriz tiene valor propio uno $$ \begin{bmatrix}W_r-D & -I\\(W_c-I)D & W_c\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{\mathbf 1}\\-D{\mathbf 1}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}{\mathbf 1}\\-D{\mathbf 1}\end{bmatrix}. $$