He aquí una solución completa a la cuestión principal cuando $n$ y $q$ son ambas Impares, y una solución parcial para las otras paridades. La solución parcial incluye una reducción al caso $n=2$ .
Sea $\text{Tr}_k$ denota el mapa de trazas de $\mathbb{F}_{q^n}$ a $\mathbb{F}_{q^k}$ suponiendo que $k|n$ .
La ecuación es $$z+z^q + z^{q^2} = x^{q^2+q+1} - xy^q - x^{q^2}y.$$ En primer lugar, realice el cambio de variables $y \leftarrow -yx^{q^+1},$ de modo que la ecuación se convierte en $$z+z^q+z^{q^2} = x^{q^2+q+1}(y^q+y+1).$$ En segundo lugar, cuando $q$ es impar, podemos aclarar un poco las cosas con el cambio de variables $y \leftarrow y - \frac12$ para eliminar la constante. La imagen de la $q$ -mapa lineal $z \mapsto z + z^q + z^{q^2}$ actuando sobre $\mathbb{F}_{q^{3n}}$ se compone de los siguientes elementos $Z'$ tal que $\text{Tr}_3(z') = \text{Tr}_1(z')$ . Siempre que $z'$ se alcanza por el lado derecho, hay $q^2$ soluciones para $Z$ . En el lado derecho, $y \mapsto y' = y^q+y$ es un $q$ -isomorfismo lineal cuando $n$ es impar, mientras que cuando $n$ es incluso su imagen es el lugar de $\text{Tr}_2(y') = \text{Tr}_1(y')$ . Mientras tanto $y' \mapsto x^{q^2+q+1}y'$ es un $q$ -a menos que $x=0$ .
Así, cuando $n$ y $q$ son ambos impar, hay $(q^{3n}-q^2)(q^{3n}-1)$ soluciones con $x,y \ne 0$ . Existen $q^2(2q^{3n}-1)$ más soluciones cuando una de ellas es cero.
En $q$ es impar y $n$ es par, entonces en principio diferentes $x' = x^{q^2 + q + 1}$ podría comportarse de manera diferente en la ecuación $z' = x'y'$ . Para un $x'$ el conjunto de posibles $x'y'$ es un cierto $q$ -hiperplano lineal con codimensión $1$ mientras que el conjunto de posibles $z'$ es un cierto $q$ -hiperplano lineal con codimensión $2$ . En el caso especial de que $\{x'y'\}$ contiene $\{z'\}$ entonces hay $q^{3n+1}$ soluciones para ese valor de $x'$ . Para valores genéricos distintos de cero de $x'$ hay $q^{3n}$ soluciones. Dualizar los hiperplanos con respecto a $\text{Tr}_1$ . El dual de $\{y'\}$ es la línea $L$ de oligoelementos 0 en $\mathbb{F}_{q^2}$ mientras que el dual de $\{z'\}$ es el plano $P$ de oligoelementos 0 en $\mathbb{F}_{q^3}$ . Mientras tanto $\{x'\}$ es el subgrupo $G$ de $\mathbb{F}_{q^{3n}}$ de índice $q^2+q+1$ . Un valor especial de $x'$ en este subgrupo es uno tal que $x'L \subset P$ . A priori no estoy seguro de que nunca ocurra. Lo que puedo decir es que si $x'$ es especial, entonces debe estar en $\mathbb{F}_{q^6}$ porque ambos $L$ y $P$ hacer. Así que se puede reducir el problema de recuento al caso de que $3n = 6$ o $n = 2$ .
Si $q$ es par, entonces la ecuación es $$z' = x'(y'+1),$$ donde como antes $z' = z+z^q+z^{q^2}$ y $y' = y + y^q$ . En este caso $y'$ es cualquier elemento con traza cero, y la línea dual $L$ es sólo $\mathbb{F}_q$ sí mismo. No he averiguado exactamente cómo es, pero supongo que se reduce al caso $n=1$ por razones similares a las anteriores.
A posteriori: No tengo ganas de cambiar todas las ecuaciones, pero ahora me pregunto si hay un doble cambio de variables para poner el lado derecho en la forma $y''(x^{q^2}+x)$ . Creo que el mapa $x \mapsto x^{q^2}+x$ es siempre no singular cuando $q$ es impar.
Una observación sobre el origen de las condiciones de rastreo. Si $a$ es un elemento irreducible de $\mathbb{F}_{q^n}$ entonces el mapa $x \mapsto x^q$ es una matriz de permutación cíclica en la base de conjugados de $a$ . Un mapa como $z \mapsto z+z^q+z^{q^2}$ es entonces una suma de matrices de permutación disjuntas y es fácil calcular su imagen y cokernel.
Algunas observaciones sobre la segunda pregunta de Jared, más general: C.f. la respuesta a esta otra pregunta mathoverflow sobre el recuento de puntos en las variedades. Para $q$ la ecuación de una hipersuperficie es equivalente a una expresión booleana general, y puede que no haya mucho que hacer aparte de contar una por una. Hay varias estrategias que funcionan en presencia de una estructura especial: Puede utilizar la información de la función zeta, si la tiene, para extrapolar a valores grandes de $q$ . Puedes contar los puntos de una variedad si sabes que es lineal, o quizá cuadrática, o el espacio coset de un grupo. Y se pueden utilizar trucos de recuento combinatorio estándar, que en forma de geometría algebraica equivalen a observar fibraciones, expansiones, inclusión-exclusión de conjuntos construibles, etc.
Esta variedad en particular se descompone mucho porque puede hacerse conjuntamente lineal en $Y$ y $Z$ y $X$ sólo entra de forma multiplicativa.
