Si $y = cx^2$ para $c>0$ y $0 \leq x \leq 1$ ¿Cuál es la mayor superficie posible del rectángulo?

Question

Consideremos la colección de rectángulos con un vértice en $(1,0)$ y el otro tumbado en $ y = cx^2 $ para algunos $c > 0$ y $0 \leq x \leq 1$ . Halla el rectángulo de área máxima.

Así que nombré la altura como $y$ y la anchura como $x$ y la fórmula del área pasó a ser $ A = xy$ . Entonces utilizo la ecuación dada $y=cx^2$ para sub en y en la fórmula de la zona y tengo $A = x\cdot cx^2$ que se convirtió en $A = cx^3$ . Luego tomé la derivada para encontrar el área máxima y obtuve $A' = 3cx^2$ . Cuando intenté hacerlo igual a $0$ El único punto crítico es $x = 0$ y no tiene sentido ya que la anchura de un rectángulo no puede ser $0$ .

No sé en qué me estoy equivocando, por favor ayúdenme. Gracias de antemano.

Answer 1

Supongo que los lados del rectángulo son paralelos al eje. Entonces el área deseada es:

$$ A(x)=cx^2|x-1|=cx^2(1-x)$$ La igualdad pasa por el hecho de que $x\in(0,1)$ .

Entonces tomando la derivada $$A'(x)=2cx(1-x)-cx^2$$

La derivada es cero si $$2cx(1-x)-cx^2=cx(2-3x)=0$$ Entonces para $x=\frac{2}{3}$ el área es máxima (se puede tomar la segunda derivada para ver que efectivamente es un máximo).

EDIT: Para su solución, usted tomó erróneamente la longitud de la $x$ -lado del eje a ser $x$ pero es $|x-1|$ .

Answer 2

El máximo absoluto de una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado se producirá en un valor crítico de dicho intervalo o en un punto final. En este caso, como el punto crítico $x = 0$ (que también es un punto final) no es claramente la respuesta, compruebe el otro punto final $x = 1$ que en este caso da el área máxima $c(1)^{3} = c$ .