Puntos simples de una variedad algebraica desde un punto de vista analítico

Question

Soy especialista en análisis fuccional, pero de vez en cuando tengo que utilizar algunos resultados de la geometría algebraica, y cada vez me encuentro con grandes dificultades para traducirlos al lenguaje que me es familiar. ¿Alguien puede ayudarme? De momento necesito asegurarme de que entiendo correctamente la noción de simple punto en geometría algebraica.

Sea $M$ sea una variedad algebraica afín (real) en $\mathbb R^n$ . Para un punto determinado $x\in M$ ¿son equivalentes las tres condiciones siguientes?

• $x$ es un simple punto en $M$ ,

• para algún barrio $U$ de $x$ la intersección $U\cap M$ es un colector liso usual en $\mathbb R^n$ ,

• entre todos los polinomios de $\mathbb R^n$ desapareciendo en $M$ existe un sistema $f_1,...,f_k$ tales que los diferenciales $d f_1(x),...,d f_k(x)$ son linealmente independientes, y en alguna vecindad $V$ de $x$ el conjunto de ceros comunes de $f_1,...,f_k$ coincide con $V\cap M$ .

Agradecería las referencias.

Answer 1

No, la equivalencia no es cierta.
Por ejemplo, la curva del plano algebraico $C$ definida por la ecuación polinómica $y^3+2x^2y-x^4=0$ tiene el origen $O=(0,0)$ como una singularidad (=punto no simple).
No obstante, su conjunto subyacente es un submanifold analítico real de $\mathbb R^2$ y, por tanto a fortiori un submanifold diferencial.
Milnor lo demuestra en las páginas 12-13 de su libro Puntos singulares de hipersuperficies complejas .

Mi prueba diferente, como geómetra algebraico, es más bien observar que $C$ es una curva racional y parametrizarla mediante el truco habitual de escribir $y=tx$ .
De ahí que considere el mapa diferenciable $$ \mathbb R\to C:t\mapsto (t^3+2t,t^4+2t^2) $$ .
Como ese mapa es una inmersión biyectiva propia, su imagen $C$ es un submanifold de $\mathbb R^2$ .