¿Cuándo toma la función zeta valores enteros?

Question

Aquí $\zeta(s)$ es la función zeta de Riemann habitual, definida como $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ para $\Re(s)>1$ .

Sea $A_n=$ { $s\;:\;\zeta(s)=n$ }. El comportamiento de $A_0$ es básicamente la hipótesis de Riemann; mi pregunta se refiere a $A_n$ para $n\neq0$ .

1) ¿Es tan difícil determinar esto como la hipótesis de Riemann?

2) Si conocemos el comportamiento de algunos $A_n$ ¿ayuda a deducir el comportamiento de otras $A_m$ ?

3) Para qué $n$ es $A_n$ ¿No está vacío?

La respuesta a la pregunta 3 es estrictamente positiva. $n$ - no es vacío y tiene puntos en la recta real a la izquierda de $s=1$ . Para $n=0$ se sabe que no es vacío. Alguna idea para negativo $n$ ? (la misma respuesta no funcionará, ya que $\zeta(s)$ es estrictamente positiva en la recta real a la izquierda de $s=1$ . Gran Picard le da no vacío para todos, pero a lo sumo uno $n$ . ¿Cómo podemos eliminar el "como máximo uno"?

Answer 1

Veamos $\zeta(s)$ para algunos grandes $\sigma$ (la parte real de $s$ ). Podemos acotar la función mediante $\int_1^\infty \frac{dx}{x^\sigma} + 1$ que es $\frac{\sigma}{\sigma-1}.$ Así que todos estos valores en cualquier $A_m$ ( $m > 1$ ) puede delimitarse mediante un semiplano. Esto no permite saber dónde están, pero sí permite saber dónde no están.

Answer 2

Bueno, para 3, serían todos (bueno, como mucho uno de ellos está vacío, por Gran Picard). La función zeta es meromorfa, pero no racional, por lo que tiene una singularidad esencial, en el infinito.

Answer 3

Respecto al comentario de Jonás sobre trazar las imágenes inversas de n. Una forma rápida de visualizar los ceros de una función meromorfa $f(s)$ es trazar (mediante un código de cuatro colores) el cuadrante del valor de $f(s)$ . Los puntos situados en la confluencia de cuatro regiones de distinto color son cero o polos. En $f(s) = \zeta(s) - n$ sólo hay un polo, por lo que todas las demás uniones de 4 colores son imágenes inversas de $n$ . Los gráficos que he mirado muestran un comportamiento que parece relacionado con muchos otros gráficos que uno ha visto en relación con zeta. Pero el gráfico de la imagen inversa del conjunto de todos los enteros (gaussianos) obtenido a partir de $f(s) = Mod[\zeta(s),1]$ (utilizando $Mathematica$ ) parece particularmente interesante, especialmente (por ejemplo) en el cuadrado de tres por tres con centro 1, o en regiones mucho más pequeñas en el semiplano izquierdo, por ejemplo, el cuadrado centrado en $-25 + \frac 12 i$ con longitud lateral $10^{-5}$ .

Answer 4

Hay un capítulo entero de un libro escrito sobre este mismo tema (Titchmarsh, The Theory of The Riemann zeta-function, capítulo XI)

En el rectángulo 0 \leq Re(s) \leq 1,0< Im(s)>T ceros de \zeta (s)-a en la casilla 3/4< Re(s) < 4/5, 0