¿Cuándo toma la función zeta valores enteros?

Question

Aquí $\zeta(s)$ es la función zeta de Riemann habitual, definida como $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ para $\Re(s)>1$ .

Sea $A_n=$ { $s\;:\;\zeta(s)=n$ }. El comportamiento de $A_0$ es básicamente la hipótesis de Riemann; mi pregunta se refiere a $A_n$ para $n\neq0$ .

1) ¿Es tan difícil determinar esto como la hipótesis de Riemann?

2) Si conocemos el comportamiento de algunos $A_n$ ¿ayuda a deducir el comportamiento de otras $A_m$ ?

3) Para qué $n$ es $A_n$ ¿No está vacío?

La respuesta a la pregunta 3 es estrictamente positiva. $n$ - no es vacío y tiene puntos en la recta real a la izquierda de $s=1$ . Para $n=0$ se sabe que no es vacío. Alguna idea para negativo $n$ ? (la misma respuesta no funcionará, ya que $\zeta(s)$ es estrictamente positiva en la recta real a la izquierda de $s=1$ . Gran Picard le da no vacío para todos, pero a lo sumo uno $n$ . ¿Cómo podemos eliminar el "como máximo uno"?

Answer 1

Respecto a 3), esto de "Gran Picard" es una exageración.

Piense como un estudiante de análisis real:

La serie p $\zeta(p)$ converge para $p > 1$ mientras que $\zeta(1)$ = suma de la serie armónica = oo.

Un argumento fácil utilizando (por ejemplo) la prueba integral muestra que

$$lim_{p \rightarrow \infty} \zeta(p) = 1$$

La función $\zeta(p)$ es continua en p [la convergencia es uniforme en semiplanos derechos, por tanto en subconjuntos compactos], por lo que por el teorema del valor intermedio toma todo valor entero positivo $n \ge 2$ al menos una vez -- y, puesto que es una función decreciente de p, exactamente una vez -- en la recta real.

Así $A_n$ no es vacío para todos $n > 1$ .

EDIT: Permítanme demostrar que zeta(s) toma todos los valores reales infinitas veces en el eje real negativo.

Para ello, obsérvese que para todo $n > 0$ ,

$$\zeta(-(2n-1)) = - \frac{B_{2n}}{(2n)}$$ ,

donde $B_{2n}$ es el $(2n)$ número de Bernoulli. Se sabe que el $B_{2n}$ alternan de signo y crecen rápidamente en valor absoluto:

$$|B_{2n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{(\pi e)^{2n}}\right)$$

La afirmación se deduce de esto y del Teorema del Valor Intermedio.

Answer 2

Hay infinitas raíces de $\zeta(s)-a=0$ para cada número complejo $a$ . En $a\ne 0$ se denominan " $a$ -y hay un capítulo entero sobre su distribución en el libro de Titchmarsh sobre la función zeta. Selberg también habla de $a$ -en su (ahora famoso) artículo "Old and new conjetures and results about a class of Dirichlet series", donde define la clase Selberg.

He aquí un resumen de algunos de los resultados más importantes:

1) Existen $\frac{T}{2\pi}\log T + O(T)$ $a$ -valores de $\zeta(s)$ en la franja $0<\Im s\leq T$ .

2) Como los ceros de $\zeta(s)$ Levinson demostró que $a$ -Los valores se agrupan cerca de la línea media. Es decir, casi todos los $a$ -están arbitrariamente cerca de la línea media.

3) A diferencia de los ceros de $\zeta(s)$ es probable que haya muchos $a$ -de la línea media (aunque no en una proporción positiva). En concreto, hay $\gg T$ raíces de $\zeta(s)=a$ para $a\neq 0$ en cualquier región $A\leq \Re s \leq B$ y $0<\Im s\leq T$ donde $A\in (1/2,1)$ y $A$ estrictamente inferior a $B$ . Esto se demuestra en el libro de Titchmarsh. Por otro lado, las estimaciones estándar de densidad cero para la función zeta nos dicen que hay $o(T)$ ceros en dicha región. Algunos han sugerido que se trata de una prueba de la hipótesis de Riemann.

Answer 3

Sobre (1) estoy de acuerdo con Boris Bukh. No hay ninguna conjetura sobre la ubicación de los puntos a de la función zeta de Riemann ( $\zeta(s) = a$ ), del mismo modo que para los puntos 0. Y por mi siguiente observación, es muy posible que no haya una descripción razonable de los puntos m para $m \neq 0$ .

Sobre (2) también estoy de acuerdo con Boris Bukh, por una razón particular. Hay un resultado de universalidad para la función zeta de Riemann, en el sentido de que al mover el disco $|s - 3/4| \leq 1/4$ verticalmente hacia arriba, se puede hacer que la función zeta de Riemann se aproxime arbitrariamente bien en la sup-norma a una función continua arbitraria en el disco cerrado que sea holomorfa en el disco abierto. Sólo es cuestión de mover el disco lo suficientemente hacia arriba. Puesto que para un arbitraria función holomorfa no hay conexión entre los puntos a y los puntos b para un par de valores $a \neq b$ tampoco se esperaría una relación semejante para la función zeta de Riemann.

El resultado de universalidad se debe a M. Voronin, véase la página 308 de la segunda edición de The Theory of the Riemann Zeta-function, de E. C. Titchmarsh. Es fundamental conseguir la segunda edición, con las notas al final del capítulo de D. R. Heath-Brown. Se trata de la referencia estándar sobre la función zeta de Riemann, aunque también existe un libro muy útil de Aleksandar Ivic.

Answer 4

Esto no es de ninguna manera mi área de especialización, pero no lo hace $|\zeta(s)|$ se hacen arbitrariamente grandes a lo largo de la línea real negativa entre los ceros triviales? ¿Y también alternan de signo en los enteros negativos Impares? Esto implicaría (¡teorema del valor medio!) que llega a cada entero, sin nada de eso de "como mucho una excepción".

Answer 5

De hecho, existen conjeturas bastante precisas sobre la ubicación de las raíces $s$ de la ecuación $\zeta(s) = a$ para cualquier $a$ complejo (esto incluye $a = n$ por supuesto).

Para $a = 0$ esta es la Hipótesis de Riemann.

Para $a \neq 0$ se conjetura que la mitad de los puntos se agrupan ligeramente a la izquierda de la semilínea (precisamente $\sqrt{\log\log t}/\log t$ a la izquierda, si $t$ es la parte imaginaria) mientras que la otra mitad se agrupa muy cerca de la semirrecta (posiblemente $o(1/\log t)$ ). Alrededor de cada una de estas líneas los ceros se extienden uniformemente a izquierda y derecha. En particular, esto llevó a Selberg a conjeturar que $3/4$ de la $a$ -se encuentran a la derecha de la semilínea, mientras que $1/4$ se encuentra a la derecha. Selberg complementó esto con la conjetura de que en cualquier línea dada, hay a lo sumo dos $a$ -puntos. Selberg ha obtenido además un teorema del límite central para la distribución de los $a$ -señala alrededor $1/2 - c \sqrt{\log\log t}/\log t$ con $c$ variando. Una buena referencia para estas cuestiones son el artículo de Selberg mencionado anteriormente, la tesis de Kai-Man Tsang (escrita bajo la dirección de Selberg), que se puede encontrar en internet, y finalmente para algunos desarrollos más recientes les remitiría a los artículos:

http://arxiv.org/abs/1402.0169

http://arxiv.org/abs/1402.6682

http://www.ams.org/journals/proc/2012-140-12/S0002-9939-2012-11275-4/home.html