De Álgebra Abstracta Tercera Edición (Foote, Dummit). Sección 1.3 Pregunta 17.
Sea $X_{2n}$ sea el grupo representado por $\langle x,y \mid x^n = y^2 = 1, xy = yx^2\rangle $ . Demostrar que si $n = 3k$ entonces $X_{2n}$ tiene orden $6$ .
Aquí está mi intento de prueba.
Basta con demostrar que $|x| = 3$ porque entonces $X_{2n} = \{1,x,x^2,y,yx,yx^2\}$ que tiene orden 6. Consideremos lo siguiente
$$\begin{equation}\begin{aligned} yx &= yxy^2 \\ &= y(xy)y \\ &= y(yx^2)y \\ &= y^2x^2y \\ &= x^2y \\ &= yx^4 \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2}$$
Así que tenemos $yx = yx^4$ . Por las leyes de cancelación, $x = x^4 \implies x^3 = 1 \implies |x| \leq 3$ .
$|x| \neq 1$ porque $x$ no es la identidad. $|x| \neq 2$ porque entonces $X_{2n} = \{1, x, y, yx\}$ que es de orden $4 \neq 3k$ . Entonces |x| es de orden 3.
Q.E.D.
La razón por la que me siento inseguro de esta prueba es que no he utilizado la hipótesis de que $n=3k$ hasta el final de la prueba, y pude encontrar un límite del orden de $x$ sin saber nada sobre el tamaño del grupo, utilizando sólo las relaciones proporcionadas. Creo que si cometí un error, tiene algo que ver con mis suposiciones de lo que $X_{2n}$ parece, por ejemplo tal vez $x=y$ para algunos valores de n. En el libro se menciona el "colapso" (pág. 26) de las relaciones, que podría ser lo que está ocurriendo.
