Demostrar que los conjuntos en $\mathbb{R}^n$ que están tanto abiertos como cerrados son $\emptyset$ y $\mathbb{R}^n$

Question

Conozco los conjuntos abiertos y cerrados en $\mathbb{R}$ son $\emptyset,\mathbb{R}$ . Ahora considero en $\mathbb{R}^n$ .

Intento de prueba:

• Supongamos que $A\neq\emptyset,\mathbb{R}^n$ .
• Si $q\in A$ entonces cualquier línea que pase por $q$ se encuentra en $A$ .
• $A=\mathbb{R}^n$ .

Son pistas de mis profesores pero no tengo ninguna ideal para resolver.

Answer 1

Una línea es homeomorfa a $\mathbb R $ ... así que por lo que sabes, el conjunto $A\cap l=l $ donde l es la línea... (Para $A\cap l $ será clopen en $l \equiv \mathbb R $ ).

Para terminar, si $A $ contiene todas las líneas hasta $q $ , $A=\mathbb R^n $ ...

Answer 2

Desde $\mathbb{R}^n$ está conectado, $\emptyset$ y $\mathbb{R}^n$ son los únicos conjuntos que son a la vez cerrados y abiertos. En caso contrario, $\mathbb{R}^n=A\cup\overline{A}$ sería la unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos.

Answer 3

(1). Def'n. Un espacio $S$ es conexo si los únicos soles abiertos y cerrados de $S$ son $\phi$ y $S.$ Equivalentemente $S$ es conexo si siempre que $A,B$ son subconjuntos abiertos disjuntos de $S$ y $A\cup B=S$ entonces (al menos) uno de $A,B$ debe estar vacío.

(2). Una imagen continua de un espacio conexo es conexa.Prueba: Sea $S$ y que $f:S\to T$ sea una suryección continua. Sea $A, B$ sean subconjuntos abiertos disjuntos de $T$ con $A\cup B=T.$ Entonces $f^{-1}A$ y $f^{-1}B$ son subconjuntos abiertos disjuntos de $S$ cuya unión es $S,$ por lo que uno de $f^{-1}A,\; f^{-1}B$ está vacía. Dado que $f$ es suryectiva tenemos $A=f(f^{-1}A)$ y $B=f(f^{-1}B),$ por lo que uno de $A,B$ está vacía.

Corolario: $[0,1]$ es un espacio conexo porque es una imagen continua del espacio conexo $\Bbb R.$ Por ejemplo $f(x)=0$ para $x<0,$ y $f(x)=x$ para $0\leq x\leq 1,$ y $f(x)=1$ para $x>1.$

(3). Def'n. Un espacio $S$ está conectada por un camino (path-wise connected) si para cualquier $x,y \in S$ existe un continuo $g:[0,1]\to S$ con $g(0)=x$ y $g(1)=y.$

Un espacio conectado por caminos es conectado. (Prueba por contradicción: Supongamos que $S$ está conectado por un camino y $S=A\cup B$ donde $A,B$ son subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos de $S.$ Toma $x\in A$ y $y\in B$ y una continua $g: [0,1]\to S$ con $f(0)=x$ y $f(1)=y.$ Ahora $g$ es una proyección continua al subespacio $V=g([0,1])$ del espacio $S,$ así que $V$ es una imagen continua del espacio conexo $[0,1]$ Así que $V$ es un espacio conexo. Pero $V\cap A$ y $V\cap B$ son subconjuntos abiertos no vacíos del espacio $V$ y su unión es $V,$ una contradicción.

(4). Para los vectores $x,y \in \Bbb R^n$ con $1<n<\infty,$ para $t\in [0,1]$ deje $g_{x,y}(t)=(1-t)x+ty.$ Entonces $g_{x,y}:[0,1]\to \Bbb R^n $ es continua con $g_{x,y}(0)=x$ y $g_{x,y}(1)=y.$ Así que $\Bbb R^n$ está conectada por caminos, por lo tanto está conectada, por lo tanto no tiene subconjuntos abiertos y cerrados excepto $\phi$ y $\Bbb R^n.$