¿Qué métodos existen para demostrar que un grupo finitamente presentado es finito?

Question

Supongamos que tengo un grupo finitamente presentado (o una familia de grupos finitamente presentados con algunos parámetros enteros), y me gustaría saber si el grupo es finito. ¿Qué métodos existen para averiguarlo? Sé que no hay un algoritmo general para determinarlo, pero me interesa saber qué planes de ataque existen.

Un método que he utilizado con éxito limitado es intentar identificar cocientes del grupo con el que empiezo, con la esperanza de encontrar uno que se sepa que es infinito. A veces, sin embargo, su grupo finitamente presentado no tiene muchos subgrupos normales; en ese caso, cuando se agrega una relación para obtener un cociente, puede colapsar el grupo a algo finito.

De hecho, aquí hay dos grandes cuestiones:

1. ¿Cómo reconocemos los grandes grupos simples finitos? (Con "grandes" me refiero a que el algoritmo de Todd-Coxeter tarda un tiempo excesivo en este grupo). ¿Qué ocurre con los grupos grandes que son la extensión de grupos simples finitos por un número reducido de factores?
2. ¿Cómo reconocemos los grupos infinitos? En particular, ¿cómo reconocemos los grupos simples infinitos?

(Para los interesados, los grupos que me interesan son los grupos de simetría de los politopos abstractos; estos grupos son ciertos cocientes agradables de los grupos Coxeter de cuerdas o sus subgrupos de rotación).

Answer 1

Supongo que las bases de Groebner pueden utilizarse para calcular el tamaño de un grupo con generadores y relaciones, del mismo modo que pueden utilizarse para calcular el tamaño de un álgebra conmutativa o no conmutativa con generadores y relaciones. Ciertamente, esto no funcionaría en todos los casos, pero sí en algunos lo bastante sencillos. En particular, cuando su grupo es realmente finito, acabará descubriéndolo con las bases de Groebner, aunque el tiempo de cálculo puede ser impracticable para un humano, o incluso para un ordenador. Cuando su grupo es infinito, las bases de Groebner a veces le dirán que lo es, pero otras veces no.

Answer 2

Tu planteamiento de encontrar cocientes infinitos es ciertamente estándar. Hay, sin embargo, un ligero ajuste de la misma que ayuda en el caso de que este enfoque se rompe - la búsqueda a través de algunos subgrupos de bajo índice. Si alguno de ellos tiene imágenes homomórficas infinitas, entonces tu grupo debe poseer un subgrupo infinito y, por tanto, también debe ser infinito. En Magma el comando "LowIndexSubgroups" puede hacer esto y sospecho que algo similar funciona en GAP, matlab, etc.

Al igual que las demás técnicas, no es un método infalible y 100% garantizado, pero a veces resulta útil.

La simplicidad de un grupo infinito es una cuestión mucho más difícil de abordar. Ni que decir tiene que si yo fuera un hombre de apuestas, sin duda apostaría por que su grupo no es simple.

Answer 3

Existe un programa informático llamado Magnus ( http://www.grouptheory.org/magnus ) que le da una idea de cómo se puede implementar. No sé nada acerca de los detalles, pero tiene algo de documentación, y funciona bastante bien;-)