¿Qué métodos existen para demostrar que un grupo finitamente presentado es finito?

Question

Supongamos que tengo un grupo finitamente presentado (o una familia de grupos finitamente presentados con algunos parámetros enteros), y me gustaría saber si el grupo es finito. ¿Qué métodos existen para averiguarlo? Sé que no hay un algoritmo general para determinarlo, pero me interesa saber qué planes de ataque existen.

Un método que he utilizado con éxito limitado es intentar identificar cocientes del grupo con el que empiezo, con la esperanza de encontrar uno que se sepa que es infinito. A veces, sin embargo, su grupo finitamente presentado no tiene muchos subgrupos normales; en ese caso, cuando se agrega una relación para obtener un cociente, puede colapsar el grupo a algo finito.

De hecho, aquí hay dos grandes cuestiones:

1. ¿Cómo reconocemos los grandes grupos simples finitos? (Con "grandes" me refiero a que el algoritmo de Todd-Coxeter tarda un tiempo excesivo en este grupo). ¿Qué ocurre con los grupos grandes que son la extensión de grupos simples finitos por un número reducido de factores?
2. ¿Cómo reconocemos los grupos infinitos? En particular, ¿cómo reconocemos los grupos simples infinitos?

(Para los interesados, los grupos que me interesan son los grupos de simetría de los politopos abstractos; estos grupos son ciertos cocientes agradables de los grupos Coxeter de cuerdas o sus subgrupos de rotación).

Answer 1

La teoría de los grupos automáticos puede ser de ayuda en este caso. Hay un buen paquete escrito por Derek Holt y sus asociados llamado kbmag (disponible para descargar aquí: http://www.warwick.ac.uk/~mareg/download/kbmag2/ ). En una respuesta anterior se mencionaban las bases de Groebner. KB en kbmag significa Knuth-Bendix, que es un algoritmo de reescritura de cadenas que puede considerarse una generalización no conmutativa de las bases de Groebner. Hay un libro "Word Processing in Groups" de Epstein, Cannon, Levy, Holt, Paterson y Thurston que describe las ideas detrás de este enfoque. No está garantizado que funcione (no todos los grupos tienen una presentación "automática"), pero es sorprendentemente eficaz.

Answer 2

Si un grupo discreto es amenable y tiene la Propiedad de Kazhdan (T), entonces es finito.

No estoy seguro de que te ayude, pero es una técnica.

Esta técnica fue utilizada por Margulis en la demostración original de su Teorema del Subgrupo Normal. Desde entonces se ha utilizado en un par de otros Teoremas del Subgrupo Normal, que se han aplicado para demostrar la simplicidad de algunos grupos infinitos. Véase, por ejemplo, "Lattices in products of trees", de Burger y Mozes, y "Simplicity and superrigidity of twin building lattices", de Caprace y Remy.

Answer 3

No existe ningún algoritmo para saber si un grupo finitamente presentado es finito, pero en principio existe un procedimiento que terminará si tu grupo es finito, y te dirá qué grupo es. Se pueden enumerar recursivamente todos los grupos finitos (por ejemplo, mediante tablas de grupos) y, por tanto, sus presentaciones. Puedes realizar recursivamente todas las Transformaciones de Tietze sobre tu presentación de grupo, y comprueba en cada etapa si coincide con una de las presentaciones de grupo finitas que has calculado (imagina hacer esto en paralelo o alternando los pasos de los dos procedimientos recursivos). Esto te dirá finalmente si tu grupo es finito, si lo es. Pero, por supuesto, esto es completamente impracticable, y me doy cuenta de que no es lo que quieres. Lo incalculable es demostrar que un grupo no es finito.

Answer 4

A veces también se puede utilizar Cálculo Fox que describe la abelianización de un subgrupo normal de índice finito de $G$ . Si esta abelianización es infinita, su grupo es infinito. Johnson "Presentaciones de Grupos", capítulo 12, describe esto en detalle.

Consulte también este hilo para ver algunos ejemplos de otras técnicas: grupo-pub

Steve

Answer 5

Esto es una especie de mirada de reojo a su pregunta:

Hay un programa llamado "Heegaard", de John Berge, que toma como entrada una presentación finita e intenta encontrar la correspondiente división de Heegaard de un 3-manifold que tiene ese grupo fundamental. Parece bastante eficaz. Existen algoritmos para producir triangulaciones de los desdoblamientos de Heegaard (Hall y Schleimer, por ejemplo). Así que se podría tomar la presentación, encontrar (si es posible) el desdoblamiento de Heegaard, producir la triangulación y luego utilizar software como Regina y SnapPea para analizar la geometría de esas variedades. Hay un montón de heurísticas y también algunos algoritmos serios. Todos los enlaces a los distintos paquetes y su documentación están disponibles aquí: http://www.math.uiuc.edu/~nmd/computop/

Así que, al menos para los grupos fundamentales de los 3-manifolds, hay un conjunto de herramientas decente con el que jugar.

Por ejemplo, podemos comprobar si un grupo es trivial. Paso 1: Heegaard podría atascarse. Paso 2: si Heegaard encuentra una división, la triangulas y se la pasas a Regina. Paso 3: Regina tiene un algoritmo para reconocer una 3-esfera triangulada, así que te dirá si tu grupo es trivial o no.