¿Es única la combinación convexa que realiza la envolvente convexa?

Question

Sea $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ sea una función continua que cumpla $F(1)=0$ que es estrictamente creciente en $[1,\infty)$ y estrictamente decreciente en $[0,1]$ . Supongamos también que $F|_{(1-\epsilon,1+\epsilon)}$ es convexa para algún $\epsilon>0$ . Supongamos que $F$ no es afín en ningún subintervalo.

Sea $\hat F(x) = \sup \{ h(x) \mid \text{$ h $ is convex on $ [0, \infty) $}, h \le F \} \, $ sea la envolvente convexa de $F$ . Sea $c\in (0,1)$ y supongamos que $\hat F(c) < F(c)$ .

Pregunta: Sea $x,y \in [0,\infty)$ y $\lambda \in [0,1]$ satisfacer $c = \lambda \, x + (1-\lambda)\, y$ y $\hat F(c) = \lambda \, F(x) + (1-\lambda) \, F(y)$ . ¿Son tales $x,y$ único ?

( He aquí un argumento para la existencia de tal $x$ y $y$ en condiciones ligeramente diferentes).

Siempre tenemos $ \hat F(c) \le \lambda \, \hat F(x) + (1-\lambda) \, \hat F(y) \le \lambda \, F(x) + (1-\lambda) \, F(y), $ así que $\hat F(c) = \lambda \, F(x) + (1-\lambda) \, F(y)$ sólo si $\hat F(x)=F(x), \hat F(y)=F(y)$ y $\hat F$ es afín en $[x,y]$ .

Answer 1

Toma $c = 1/2$ , $$x_1=1/2 -a,\quad y_1=1/2 +a,\\ x_2=1/2 -b, \quad y_2=1/2 +b,$$ donde $a<b<1/2$ . Puede encontrar una función $F$ que satisfaga todas las hipótesis tales que $\hat F(c)=1-c< F(c)$ y $$ \hat F(x) = F(x)=1-x,\quad x = x_1,x_2,y_1,y_2$$