Un subconjunto de función continua que toma cero en un conjunto es un ideal cerrado

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Sea $C(X,\mathbb{R})$ sea el espacio de funciones continuas de $X$ a los Reales y que $X$ sean compactas Hausdorff. Si $E \subset X$ y $k(E) = \{f \in C(X,\mathbb{R}): f(x) = 0 \quad \forall x \in E \}$ . Mostrar $k(E)$ es un ideal cerrado.

Puedo mostrar su e ideal. Sin embargo, tengo problemas para ver que está cerrado. ¿Qué opinas?

Answer 1

Lo ideal $k(E)$ será cerrada en cualquier topología que implique convergencia puntual y tal que $C(X,\mathbb R)$ es completa en esa topología; entre ellas se incluye, en particular, la dada por la norma del sumo.

Si $\{f_j\}\subset k(E)$ es Cauchy, entonces es convergente en $C(X,\mathbb R)$ . Así que $f_j\to f$ . Para cualquier $x\in E$ , $$f(x)=\lim_jf_j(x)=\lim_j 0=0.$$ Así que $f\in k(E)$ y $k(E)$ está cerrado.